À l'entrée d'un cinéma, les spectateurs peuvent souscrire à un abonnement de 47 €. Si un client achète cet abonnement, une place pour un film vaut 8,20 €.
Soit n un entier naturel.
Un client abonné a acheté n places de cinéma.
On note u_{n} le prix payé par ce client.
Quelle est la relation de récurrence vérifiée par la suite (u_{n}) ?
Soit n un entier naturel.
u_{n} représente le prix payé par un client abonné pour n places achetées.
u_{n+1} représente le prix payé par un client abonné pour n+1 places achetées.
Chaque place achetée dans le cadre de cet abonnement vaut 8,20 €.
On en déduit que : u_{n+1}=u_{n}+8{,}20.
En conclusion, la relation de récurrence vérifiée par la suite (u_{n}) est : pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_n+8{,}20.
On veut représenter la suite (u_{n}) dans un repère orthogonal.
Quelle est l'allure de la représentation graphique de (u_{n}) ?
La relation de récurrence vérifiée par la suite est : pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+8{,}20.
Or, une suite (u_{n}) est dite arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n pour lequel u_{n} est défini, on a : u_{n+1}=u_{n}+r
Ainsi, la suite (u_{n}) est arithmétique.
On sait que l'on peut représenter une suite par une succession de points de coordonnées (n ; u_{n}).
On sait également que lorsque la suite est arithmétique, ces points sont alignés.
On peut donc éliminer les réponses sur lesquelles les points ne sont pas alignés.
Par ailleurs, la raison de la suite est strictement positive : on en déduit que la suite est croissante.
Les ordonnées u_{n} des points doivent donc augmenter avec n.
On en déduit que l'allure de la représentation graphique de la suite ( u_{n}) est :
Camille a un budget cinéma de 150 € annuels et veut connaître le nombre de places qu'elle pourra acheter en souscrivant à l'abonnement proposé par la salle.
D'après la représentation graphique de la suite, quel est le nombre maximal de places que Camille peut acheter ?
La représentation graphique de la suite (u_{n}) est la suite de points de coordonnées (n ; u_{n}).
On cherche la valeur de n la plus grande telle que u_{n}\leqslant150.
On représente donc la droite horizontale d'équation y=150, et on cherche la valeur de n la plus grande telle que le point de coordonnées (n ; u_{n}) soit en dessous de cette droite.
En conclusion, le nombre maximal de places que Camille pourra acheter avec cet abonnement si elle a un budget de 150€ est 12.