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Dernière modification : 27/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Les représentations des solides
En général, on peut représenter les solides de deux manières différentes : en perspective cavalière et par un patron.
La perspective cavalière
La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter de manière plane et de visualiser une figure en trois dimensions.
Les règles permettant de dessiner un solide en perspective cavalière sont les suivantes :
- Si le solide possède des faces, celles qui sont face à l'observateur sont dessinées en vraie grandeur.
- Les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
- Les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu.
- Les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillé.
Ces solides sont représentés en perspective cavalière.
On peut représenter un solide en perspective cavalière de plusieurs manières différentes.
Un patron de solide
Le patron d'un solide est une représentation plane permettant de construire ce solide par pliage.
- Certains les solides ne possèdent pas de patron.
- Les solides qui possèdent un patron peuvent en posséder plusieurs.
Les solides usuels
Le pavé droit
Pavé droit
Un pavé droit (aussi appelé « parallélépipède rectangle ») est un polyèdre possédant 6 faces qui sont toutes des rectangles.
Le polyèdre ABCDEFGH est un pavé droit :
- Il possède 6 faces.
- Toutes ses faces sont des rectangles.
Il existe différentes représentations en perspective cavalière de pavés droits.
Patron d'un pavé droit
Un patron d'un pavé droit est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant suivant ses arêtes.
Il est toujours formé de trois rectangles qui apparaissent deux fois chacun, c'est-à-dire de six rectangles. Ces rectangles correspondent aux faces du pavé droit. Deux rectangles ne peuvent comporter un côté commun sur le patron que s'ils ont une arête commune sur le pavé.
Un pavé droit possède différents patrons.
Le cube
Cube
Un cube est un polyèdre possédant 6 faces qui sont des carrés.
Le polyèdre ABCDEFGH est un cube car toutes ses faces sont des carrés.
Un cube est un pavé droit particulier.
Patron d'un cube
Un patron d'un cube est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant suivant ses arêtes.
Il est toujours formé de six carrés identiques. Ces carrés correspondent aux faces du cube. Deux carrés ne peuvent comporter un côté commun sur le patron que s'ils ont une arête commune sur le cube.
Un cube possède 11 patrons différents.
Le prisme droit
Prisme droit
Un prisme droit est un polyèdre ayant deux faces polygonales identiques superposables et parallèles appelées « bases » du prisme droit. Les autres faces, appelées « faces latérales », sont des rectangles.
Le pavé droit et le cube sont des prismes droits particuliers.
- Le pavé droit est un prisme droit à base rectangulaire.
- Le cube est un prisme droit à base carrée.
Hauteur d'un prisme droit
La hauteur d'un prisme droit est la distance entre les deux bases.
Dans le prisme droit ci-dessous, la hauteur est de 6 cm.
Attention à bien repérer la hauteur d'un prisme droit quand la face sur laquelle repose le solide n'est pas une des deux bases.
Dans le prisme droit ci-dessous, la hauteur est de 5 cm.
Patron d'un prisme droit
Un patron d'un prisme droit est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses arêtes. Il est formé de rectangles correspondant à ses faces latérales, ainsi que des deux polygones correspondant à ses bases.
Il existe plusieurs patrons différents d'un même prisme droit, suivant la disposition relative des bases et des rectangles.
Pour dessiner un patron de prisme droit, il faut imaginer le pliage. On vérifie ainsi que les arêtes qui se superposent sont bien de même longueur.
Le cylindre de révolution
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide formé de deux disques parallèles superposables qui sont ses bases, et d'une surface latérale qui est un rectangle enroulé le long des bases.
Voici une représentation en perspective cavalière d'un cylindre de révolution :
Hauteur et rayon d'un cylindre de révolution
- La hauteur d'un cylindre de révolution est la distance entre les deux bases. En général, on la note h.
- Le rayon d'un cylindre est le rayon de ses bases. En général, on le note r.
Pour former un cylindre de révolution, on fait tourner un rectangle autour d'un des côtés. Ce côté est appelé « axe de révolution ».
Patron d'un cylindre de révolution
Un patron d'un cylindre de révolution est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant le solide.
Il est constitué d'un rectangle correspondant à la surface latérale du cylindre et des deux disques de base.
Une des dimensions du rectangle est la hauteur du cylindre. L'autre dimension est le périmètre des disques de base.
On peut visualiser comment déplier un cylindre pour en obtenir un patron.
Un cylindre de révolution possède différents patrons. Ils se ressemblent beaucoup : la seule différence réside dans la position des disques.
Voici deux patrons d'un même cylindre :
Les unités de mesure de volume et de capacité
Pour mesurer la quantité d'espace contenue dans un solide, on peut utiliser des unités de mesure de volumes ou des unités de mesure de contenances.
Les unités de mesures de volume
Volume d'un solide
Le volume d'un solide est la quantité d'espace qu'il occupe, exprimée dans une unité de volume donnée.
Le centimètre cube
Un centimètre cube est le volume d'un cube de 1 cm d'arête.
Unités de mesure de volume
Suivant les cas, on utilise les unités de mesure de volume suivantes :
- Le millimètre cube (noté mm3) est égal à 0,001 centimètre cubes.
- Le décimètre cube (noté dm3) est égal à 1 000 centimètres cubes.
- Le mètre cube (noté m3) est égal à 1 000 décimètres cubes.
- Le décamètre cube (noté dam3) est égal à 1 000 mètres cubes.
- L'hectomètre cube (noté hm3) est égal à 1 000 décamètres cubes.
- Le kilomètre cube (noté km3) est égal à 1 000 hectomètres cubes.
Tableau de conversion
Les conversions entre les différentes unités de mesure de volumes peuvent s'effectuer à l'aide d'un tableau de conversion :
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pour convertir 2 365 000 cm3 en m3, on procède de la manière suivante :
On place 2 365 000 cm3 dans le tableau de manière à ce que le chiffre des unités du nombre 2 365 000 soit placé dans la colonne des unités des cm3.
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 | 5 | 0 | 0 | 0, | ||||||||||||||
Puis on place la virgule de sorte que le chiffre des unités soit maintenant placé dans la colonne des unités des m3.
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2, | 3 | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||||
On obtient donc : 2\ 365\ 000 \text{ cm}^3 = 2{,}365 \text{ m}^3.
Pour convertir 0,000 78 hm3 en dm3, on procède de la manière suivante :
On place 0,000 78 hm3 dans le tableau de manière à ce que le chiffre des unités du nombre 0,000 78 soit placé dans la colonne des unités des hm3.
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0, | 0 | 0 | 0 | 7 | 8 | |||||||||||||||
Puis on place la virgule de sorte que le chiffre des unités soit maintenant placé dans la colonne des unités des dm3.
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 7 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0, | |||||||||||
On obtient donc : 0{,}00078 \text{ hm}^3 = 780\ 000 \text{ dm}^3.
Le tableau de conversion des unités de mesure de volume comporte trois colonnes par unité.
Les unités de mesures de capacité
Unités de mesure de capacité
Pour mesurer des volumes, on utilise également les unités de contenance, qui sont les multiples et les sous-multiples du litre (L).
| kilolitre (kL) | hectolitre (hL) | décalitre (daL) | litre (L) | décilitre (dL) | centilitre (cL) | millilitre (mL) |
|---|---|---|---|---|---|---|
Pour passer des unités de volume aux unités de capacité, on utilise la relation :
1\text{ L}=1\text{ dm}^3
ou la relation :
1\text{ L}=1\ 000\text{ m}^3
et le tableau de conversion :
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||||||||||
On souhaite convertir 0,75 hL en cm3.
On commence par placer 0,75 hL dans le tableau de conversion de sorte que le chiffre des unités du nombre 0,75 soit placé dans la colonne des hL.
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||||||||||
| 0, | 7 | 5 | ||||||||||||||||||
Puis on place la virgule de sorte que le chiffre des unités soit maintenant placé dans la colonne des unités des cm3.
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||||||||||
| 0 | 7 | 5 | 0 | 0 | 0, | |||||||||||||||
On obtient donc : 0{,}75 \text{ hL} = 75\ 000 \text{ cm}^3.
Calculs de volumes des solides usuels
Pour mesurer la quantité d'espace contenue dans un solide, on peut utiliser des unités de mesure de volumes ou des unités de mesure de contenances.
Volume d'un pavé droit
Le volume d'un pavé droit de dimensions a, b et c est égal à :
V=a\times b\times c
Le volume de ce pavé droit est égal à :
V=a\times b\times c=6 \times 3 \times4{,}5=81 \text{ dm}^3
Quand on calcule le volume d'un pavé droit, il faut veiller à ce que les longueurs soient toutes exprimées dans la même unité.
Volume d'un cube
Le volume d'un cube d'arête de longueur a est égal à :
V=a\times a \times a
Le volume de ce cube est égal à :
V=a\times a\times a=10 \times 10 \times10=1\ 000 \text{ cm}^3
Volume d'un prisme droit
Le volume d'un prisme droit est égal à l'aire B de sa base multipliée par sa hauteur h :
V=B\times h\\
On veut calculer le volume de ce prisme droit dont la base est un triangle rectangle.
La base de ce prisme droit est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 mm et 2,5 mm.
Donc l'aire de la base est égale à :
B=(6 \times 2{,}5)\div 2 =15 \div2=7{,}5\text{ mm}^2
On en déduit que le volume du prisme droit est égal à :
V=B \times h=7{,}5 \times 10 = 75 \text{ mm}^3
Quand on calcule le volume d'un prisme droit, il faut veiller à ce que les longueurs soient toutes exprimées dans la même unité.
Aire d'un disque et volume d'un cylindre de révolution
L'aire d'un disque de rayon r est égale à :
A=r \times r \times \pi
On écrit aussi : A= \pi \times r ^2
On veut calculer l'aire de ce disque :
L'aire de ce disque est égale, en cm2, à :
r \times r \times \pi=3 \times 3 \times \pi=9 \times \pi
Attention, si on connaît le diamètre du disque, il faut le diviser par 2 pour obtenir le rayon et utiliser la formule donnant l'aire d'un disque.
Le volume d'un cylindre de révolution est égal à l'aire B de sa base multipliée par sa hauteur h :
V=B\times h\\
Le volume d'un cylindre de rayon r est ainsi égal à :
V=\pi \times r ^2 \times h\\
On veut calculer le volume de ce cylindre de révolution :
Son volume est égal, en cm3, à :
V=\pi \times r^2 \times h=\pi \times 3^2 \times 7=\pi \times 63 = 63\pi
Quand on calcule le volume d'un cylindre de révolution, il faut veiller à ce que la hauteur et le rayon soient exprimés dans la même unité.