Les grandeurs produits
Les grandeurs produits sont les grandeurs définies comme le produit de deux autres grandeurs. Elles ont des unités constituées de deux autres unités. Les grandeurs suivantes sont des grandeurs produits : l'aire, le volume et l'énergie.
L'aire
L'aire d'une figure est obtenue par le produit de deux longueurs. L'unité de référence est le mètre carré (m2).
L'aire d'une figure plane est obtenue comme produit de deux longueurs.
Si chaque longueur est exprimée en mètres, l'aire de la figure est exprimée en mètres carrés (m2).
Il s'agit de l'unité du système international (SI).
Un tableau de conversion
Les conversions entre les différents multiples et sous-multiples du mètre carré se font à l'aide du tableau de conversion suivant :
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0 0 0 0 1 4 5 145\ \text{m}^2 = 0{,}000145\ \text{km}^2
-
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 2 5 0 0 1 0 0 0 0 25\ 001\ \text{m}^2 = 250\ 010\ 000\ \text{cm}^2
Contrairement au tableau de conversion des multiples du mètre, ce tableau comporte deux colonnes par unité.
Le volume
Le volume est un autre exemple de grandeur produit où l'on multiplie plus de deux longueurs.
Le volume et ses unités
Le volume d'un solide est obtenu par le produit de trois longueurs. L'unité de référence est le mètre cube (m3).
Le volume d'un solide est obtenu comme le produit de trois longueurs.
Si chaque longueur est exprimée en mètres, le volume du solide est exprimé en mètres cubes (m3).
Il s'agit de l'unité du système international (SI).
Tableau de conversion
Les conversions entre les différents multiples et sous-multiples du mètre cube se font à l'aide du tableau de conversion suivant :
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 0 0 0 0 0 5 2 4 6 5\ 246\ \text{cm}^3 = 0{,}000005246\ \text{dam}^3
-
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1 5 0 0 0 15\ \text{km}^3 = 15\ 000\ \text{hm}^3
Contrairement au tableau de conversion des multiples du mètre et du mètre carré, ce tableau comporte trois colonnes par unité.
Le volume d'une pyramide
Le calcul du volume d'une pyramide est directement lié à l'aire de sa base et à sa hauteur.
Le volume V d'une pyramide de base d'aire B et de hauteur h est égal à :
V=\dfrac{1}{3}\times B\times h
On considère la pyramide SABCD de base carrée ABCD et de sommet S représentée sur le schéma suivant :
La base carrée ABCD a pour aire :
\mathcal{B}=5\times5=25\ \text{cm}^2
Le volume de la pyramide est donc :
V=\dfrac{1}{3}\times25 \times 8\ \text{cm}^3
Soit :
V\approx 66{,}7\ \text{cm}^3
Une pyramide de base \mathcal{B} et de hauteur h a pour volume le tiers du volume du prisme droit ayant la même base et la même hauteur.
On considère la pyramide de base ABCDE et de sommet S représentée sur le schéma suivant.
On construit le prisme droit ayant la même base et la même hauteur.
On a alors le volume de la pyramide qui est le tiers du volume du prisme droit.
Le volume d'un cylindre de révolution
Le calcul du volume d'un cylindre de révolution est directement lié au rayon de sa base et à sa hauteur.
Le volume V d'un cylindre de révolution de base de rayon R et de hauteur h est égal à :
V=\pi \times R^2 \times h
On considère un cylindre de révolution de rayon 3 cm et de hauteur 7 cm.
Le volume du cylindre représenté sur le schéma ci-dessus est :
V= \pi \times 3^2 \times 7\ \text{cm}^3
Soit :
V=63\pi\ \text{cm}^3
Le volume d'un cône de révolution
Le calcul du volume d'un cône de révolution est égal au tiers du volume d'un cylindre de révolution de même base.
Le volume V d'un cône de révolution de base de rayon R et de hauteur h est égal à :
V=\dfrac{1}{3}\times \pi \times R^2 \times h
On considère un cône de révolution ayant pour base un disque de rayon 3 cm et pour hauteur 12 cm, tel que représenté sur le schéma suivant :
Le volume du cône est :
V=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2 \times 12\ \text{cm}^3
Soit :
V\approx 113{,}1\ \text{cm}^3
Un cône de révolution de base \mathcal{B} et de hauteur h a pour volume le tiers du volume du cylindre de révolution ayant la même base et la même hauteur.
On considère le cône de révolution de base le disque \mathcal{B} et de sommet S tel que représenté sur le schéma suivant.
On construit le cylindre de révolution ayant la même base et la même hauteur.
On a alors le volume du cône qui est le tiers du volume du cylindre.
Les formules des volumes d'une pyramide et d'un cône de révolution sont très proches.
Il s'agit en fait de la même formule \mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h, où \mathcal{A} est l'aire de la base et h la hauteur du solide.
La correspondance entre le volume et la contenance
Il existe une correspondance entre les unités de contenance et de volume. On peut effectuer la conversion d'une unité à l'autre, notamment à l'aide d'un tableau de conversion.
L'unité de base des volumes est le mètre cube (noté m3), celle des contenances est le litre (noté L).
Il existe une correspondance entre les unités de volume et celles de contenance : un contenant dont le volume est 1 dm3 peut contenir 1 L.
Par abus de langage, on écrit parfois 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}.
On sait que :
1\ \text{m}^3 = 1\ 000\ \text{dm}^3
Or, un contenant dont le volume est 1 dm3 peut contenir 1 L.
Par conséquent, un contenant dont le volume est 1 m3 peut contenir 1 000 L.
Pour passer des unités de volume aux unités de contenance, on peut donc utiliser le tableau de conversion suivant :
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||||||||||
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||||||||||
| 0, | 1 | 7 | 7 | |||||||||||||||||
177 \text{ mL} = 0{,}177 \text{ dm}^3
L'énergie
On calcule l'énergie consommée par un appareil électrique en multipliant la puissance de l'appareil par la durée de consommation.
Énergie
L'énergie E consommée par un appareil électrique de puissance P durant une durée t est une grandeur produit :
E=P\times t
Un grille-pain a une puissance de 1 600 watts. Étienne met son pain à griller pendant 2 minutes.
L'énergie consommée est égale à :
E=1 \,600 \times 2 = 3 \,200\,\text{watts/minute}
Les grandeurs quotients
Les grandeurs quotients sont les grandeurs définies comme le quotient de deux autres grandeurs. Les grandeurs suivantes sont des grandeurs quotients : la vitesse, le débit, la densité de population, le rendement d'un terrain et la masse volumique.
La vitesse
La vitesse moyenne s'obtient en divisant la distance parcourue par la durée du parcours.
Vitesse
La vitesse moyenne V d'un mobile parcourant une distance d durant une durée t est le quotient de la distance par la durée :
V=\dfrac{d}{t}
Si la distance est exprimée en mètres (m) et la durée en secondes (s), la vitesse moyenne est exprimée en m/s, que l'on note également \text{m.s}^{-1}.
Il s'agit de l'unité du système international (SI).
Un véhicule ayant parcouru une distance de 50 mètres en 2 secondes roule à la vitesse moyenne de :
V=\dfrac{50}{2}=25\,\text{m/s}
Le débit
Le débit décrit la vitesse d'un écoulement. Il s'obtient en divisant le volume écoulé par la durée de l'écoulement.
Débit
Le débit D d'un fluide est le quotient du volume écoulé V (qui est une grandeur produit) par la durée t de l'écoulement (qui est une grandeur simple) :
D=\dfrac{V}{t}
Si le volume est exprimé en mètres cubes (m3) et le temps en secondes (s), alors le débit est exprimé en m3/s, que l'on note également \text{m}^3.\text{s}^{-1}.
Il s'agit de l'unité du système international (SI).
Une pomme de douche par laquelle s'est écoulé 0,012 m3 en 60 s a un débit de :
D=\dfrac{0{,}012}{60}=0{,}0002\,\text{m}^3.\text{s}^{-1}
La densité de population
La densité de population d'une zone s'obtient en divisant le nombre d'habitants de la zone par l'aire de la zone.
Densité de population
La densité de population D d'une zone géographique est le quotient du nombre d'habitants N de la zone par l'aire A de la zone :
D=\dfrac{N}{A}
Si N est exprimé en habitants (hab.) et l'aire de la zone en kilomètres carrés (km2), alors la densité de population est exprimée en hab./km2, que l'on note aussi \text{hab}.\text{km}^{-2}.
En 2013, Paris comptait 2 229 621 habitants pour 105,40 km2. Sa densité était donc de :
D=\dfrac{2\ 229\ 621}{105{,}40}\approx 21\ 154\,\text{hab}.\text{km}^{-2}
Le rendement d'un terrain
Le rendement d'un terrain s'obtient en divisant la quantité de produit récolté par la surface du terrain.
Rendement d'un terrain
Le rendement d'un terrain agricole est le quotient de la quantité de produit récolté par la surface cultivée donnée :
r=\dfrac{Q}{S}
Il est souvent exprimé en quintal par hectare (q/ha), que l'on note également \text{q.ha}^{-1}.
Un terrain agricole de 5 hectares ayant permis de produire 4 050 quintaux de blé a eu un rendement de :
r=\dfrac{4\ 050}{5}=810\ \text{q.ha}^{-1}
La masse volumique
La masse volumique d'une matière s'obtient en divisant la masse de la matière par le volume occupé.
Masse volumique
La masse volumique d'une matière, notée \rho, est le quotient de la masse de matière par le volume occupé :
\rho=\dfrac{m}{V}
Si m est exprimée en kg et V en m3, alors \rho est exprimée en kg/m3.
Cette unité, également notée \text{kg.m}^{-3}, est une unité du système international (SI).
Une plaque de fonte a une masse de 20,4 kg et un volume de 3 dm3.
Sa masse volumique est alors :
\rho=\dfrac{20{,}4}{3}=6{,}8\ \text{kg/dm}^3
La conversion d'unités
Avec certaines unités composées (autres que les aires et volumes), il n'y a pas de tableaux de conversion à connaître. Il faut convertir les différentes unités séparément. C'est notamment le cas de la vitesse et du débit.
La conversion d'une vitesse
Pour convertir en \text{m.s}^{-1} une vitesse exprimée en \text{km.h}^{-1}, ou inversement, il faut convertir la distance et la durée.
Pour convertir en \text{m.s}^{-1} une vitesse exprimée en \text{km.h}^{-1}, il suffit de :
- diviser par 1 000 (passage des mètres aux kilomètres) ;
- puis multiplier par 3 600 (passage des secondes aux heures).
La vitesse du son dans l'air est d'environ 330 m/s.
On cherche à convertir cette vitesse en km/h.
On divise par 1 000 pour convertir en km/s :
300 m/s = 300\div 1 000 km/s
\text{300 m/s = 0{,}3 km/s}
On multiplie par 3 600 pour convertir en km/h :
\text{0{,}3 km/s} = 0{,}3\times 3\ 600\ \text{km/h}
\text{0{,}3 km/s = 1 080 km/h}
La vitesse du son dans l'air est donc d'environ 1 080 km/h.
Pour convertir en \text{km.h}^{-1} une vitesse exprimée en \text{m.s}^{-1}, il suffit de :
- multiplier par 1 000 (passage des kilomètres aux mètres) ;
- puis diviser par 3 600 (passage des heures aux secondes).
Un avion vole à 900 km/h.
On cherche à convertir cette vitesse en m/s.
On convertit en m/h en multipliant par 1 000 :
\text{900 km/h = 900 000 m/h}
On convertit en m/s en divisant le résultat par 3 600 :
900 000 m/h = 900 000\div 3 600 m/s
\text{900 000 m/h = 250 m/s}
L'avion vole donc à une vitesse de 250 m/s.
La conversion d'un débit
Pour convertir en \text{m}^3.\text{s}^{-1} un débit exprimé en \text{L.min}^{-1}, ou inversement, il faut convertir le volume ou la contenance ainsi que la durée.
Pour convertir en \text{L.min}^{-1}, un débit exprimé en \text{m}^3.\text{s}^{-1} il suffit de :
- multiplier par 1 000 (passage des mètres cubes aux litres) ;
- puis multiplier par 60 (passage des secondes aux minutes).
Le débit moyen du fleuve Amazone au niveau de son estuaire est d'environ 209 000 m3/s.
On cherche à convertir ce débit en L/min.
La correspondance entre les volumes et les contenances est :
\text{1 L = 1 dm}^3
Or :
\text{1 m}^3 = 1\ 000\ \text{dm}^3
Soit :
1\ \text{m}^3 = 1\ 000\ \text{L}
On convertit le débit en L/s en multipliant par 1 000 :
209\ 000\ \text{m}^3\text{/s} = 209\ 000\times 1\ 000\ \text{L/s}
209\ 000\ \text{m}^3\text{/s} = 209\ 000\ 000\ \text{L/s}
On multiplie par 60 pour convertir en L/min :
209\ 000\ 000\ \text{L/s} = 209\ 000\ 000\times 60\ \text{L/min}
209\ 000\ 000\ \text{L/s} = 12\ 540\ 000\ 000\ \text{L/min}
Le débit moyen du fleuve Amazone au niveau de son estuaire est donc 12 540 000 000 L/min.
Pour convertir en \text{m}^3.\text{s}^{-1} un débit exprimé en \text{L.min}^{-1} , il suffit de :
- diviser par 1 000 (passage des litres aux mètres cubes) ;
- puis diviser par 60 (passage des minutes aux secondes).
Le débit d'un robinet d'eau ouvert est 112 L/min.
On cherche à convertir ce débit en m3/s.
On divise par 1 000 pour obtenir des m3/min :
\text{112 L/min} = 112\div 1\ 000\ \text{m}^3\text{/min}
\text{112 L/min = 0{,}112 }\text{m}^3\text{/min}
On divise par 60 pour obtenir le débit en m3/s :
0{,}112\ \text{ m}^3\text{/min}=0{,}112\div60\ \text{ m}^3\text{/s}
0{,}112\text{ m}^3\text{/min} \approx 0{,}0019\text{ m}^3\text{ /s}
Le débit du robinet est donc environ 0,0019 m3/s.