Proportion et pourcentage d'évolution
Proportion d'une partie par rapport à un tout
Proportion
Soit A une partie d'un ensemble fini E.
Si n_E et n_A sont respectivement les nombres d'éléments de E et de A, la proportion des éléments de A par rapport à E est le quotient :
p=\dfrac{n_A}{n_E}
Dans une urne contenant 100 boules de différentes couleurs, il y a 70 boules rouges . La proportion de boules rouges est :
\dfrac{70}{100}=0{,}7
Une proportion p est un nombre compris entre 0 et 1. Elle s'exprime souvent sous forme de pourcentage.
Si l'on écrit p=\dfrac{a}{100}, on dit que le pourcentage de A par rapport à E est a\%.
Une classe de 35 élèves contient 28 filles. La proportion de filles dans la classe est :
p=\dfrac{28}{35}
Soit :
p=\dfrac45=0{,}8=\dfrac{80}{100}
Ainsi, la proportion de fille dans la classe est de 80%.
Une proportion n'a pas d'unité.
Pourcentage d'évolution
Taux et pourcentage d'évolution
Si une grandeur évolue d'une valeur Q_1 à une valeur Q_2 :
- Le rapport \dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1} s'appelle le taux d'évolution (ou la variation relative) de Q_1 à Q_2.
- Soit t le nombre tel que \dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{t}{100}. On dit que t\% est le pourcentage d'évolution de Q_1 à Q_2 (ou que t\% est le taux d'évolution de Q_1 à Q_2 ).
L'évolution peut être :
- Une augmentation si le taux d'évolution est positif
- Une diminution si le taux d'évolution est négatif
En 2009, il y avait Q_1=256 élèves dans un établissement scolaire. En 2012, il y en avait Q_2=448.
Le taux d'évolution entre Q_1 et Q_2 vaut :
\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{448-256}{256}=\dfrac{192}{256}=0{,}75=\dfrac{75}{100}
Le pourcentage d'augmentation des élèves entre 2009 et 2012 est de 75 %.
\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{t}{100} équivaut à \dfrac{Q_2}{Q_1}=1+\dfrac{t}{100}
Si \dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{75}{100} alors on a :
\dfrac{Q_2}{Q_1}=1+\dfrac{75}{100}=1{,}75
- Augmenter une quantité Q de t\%, revient à multiplier cette quantité par le nombre 1+\dfrac{t}{100}.
- Diminuer une quantité Q de t\% revient à multiplier cette quantité par le nombre 1-\dfrac{t}{100}.
Le prix d'un produit est de 150 €. Il a augmenté de 8%. Pour déterminer le nouveau prix, on multiplie le prix initial par 1,08. Ainsi, le nouveau prix est égal à :
150\times 1{,}08=162 €
1+\dfrac{t}{100} et 1-\dfrac{t}{100} s'appellent les coefficients multiplicateurs.
Evolutions et indices
Evolutions successives
Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux t_1\text{ }\%, puis une évolution relative de t_2\text{ }\%. Cette quantité est alors multipliée par :
\left( 1+\dfrac{t_1}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t_2}{100}\right)
Si une quantité augmente de 20%, puis diminue de 30%, alors cette quantité est multipliée par :
\left( 1+\dfrac{20}{100} \right)\times\left( 1- \dfrac{30}{100}\right)=1{,}2\times0{,}7=0{,}84.
Pour déterminer le taux t% correspondant de cette évolution, il faut trouver t tel que :
0{,}84=1+\dfrac{t}{100}
-0{,}16=\dfrac{t}{100}
Ainsi :
t=-16
Donc, une augmentation de 20% suivie d'une diminution de 30% correspond à une diminution de 16%.
Evolutions réciproques
Q_1 et Q_2 sont deux valeurs d'une même grandeur.
On définit deux évolutions réciproques :
- Celle de Q_1 à Q_2
- Celle de Q_2 à Q_1
On désigne par t\text{ }\% le taux d'évolution de Q_1 à Q_2 et par t'\text{ }\% celui de Q_2 à Q_1. On a alors :
\left( 1+\dfrac{t}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1.
On dit que t'\text{ }\% est le taux d'évolution réciproque du taux t\text{ }\%.
Cette formule permet de déterminer la valeur de t' en résolvant une équation d'inconnue t'.
Quel est le taux réciproque t'\text{ }\% d'une augmentation de 30% ?
On peut écrire :
\left( 1+\dfrac{30}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1.
D'où :
1{,}3\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1.
En résolvant cette équation, on retrouve la valeur de t'.
1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1{,}3}
t'=100\times\left( \dfrac{1}{1{,}3}-1 \right)\approx-23
Le taux réciproque d'une hausse de 30% est une baisse de 23% environ.
Indices
Indice base 100
Soient Q_1 et Q_2 deux valeurs d'une même grandeur.
Définir "l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur Q_1 ", c'est associer à Q_1 la valeur I_1=100 et à Q_2 la valeur I_2 telles que I_1 et I_2 sont proportionnelles à Q_1 et Q_2.
\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{Q_2}{Q_1} soit I_2=100\times\dfrac{Q_2}{Q_1}.
Le tableau ci-dessous représente l'évolution dans le temps du SMIC horaire brut en euros.
| Année | 2000 | 2005 | 2011 |
|---|---|---|---|
| SMIC | 6,41 | 8,03 | 9,00 |
Pour obtenir l'indice base 100 du SMIC horaire en 2000 pour l'année 2005, on effectue le calcul :
100\times\dfrac{8{,}03}{6{,}41}\approx125{,}3
L'indice pour l'année 2011 est :
100\times\dfrac{9}{6{,}41}\approx140{,}4
Les indices n'ont pas d'unité.
Les taux d'évolutions relatives pour la quantité Q et les taux d'évolutions relatives pour l'indice I sont égaux.
Grâce à cette propriété, la lecture de l'indice fournit alors très rapidement le pourcentage d'évolution de l'indice et ainsi celui de la grandeur.
| Année | 2000 | 2005 | 2011 |
|---|---|---|---|
| Indice | 100 | 125,3 | 140,4 |
Le tableau ci-dessus donnant l'indice base 100 en 2000 du SMIC permet de lire le pourcentage d'augmentation de l'indice de 2000 à 2005 (c'est-à-dire 25,3%) qui correspond aussi au pourcentage d'augmentation du SMIC.
De même, le pourcentage d'augmentation de l'indice de 2000 à 2011 (et donc du SMIC) est de 40,4%.