Une commune accorde une subvention annuelle à son club sportif.
En 2005, cette subvention s'élevait à 15 000 €.
L'évolution du montant de la subvention depuis cette date est donnée par le tableau suivant :
| Année | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
| Pourcentage d'évolution | 19% | 16% | 14% | 11% | 9% |
|---|
À titre d'exemple, l'évolution du montant de la subvention entre 2007 et 2008 est de 14%.
Dans quel tableau a-t-on correctement complété une troisième ligne indiquant, pour chaque année, le montant de la subvention accordée par la commune au club sportif ?
La subvention accordée au club en 2005 est S2005 = 15 000 €.
On peut ensuite calculer le montant de la subvention pour chaque année.
Subvention en 2006
Entre 2005 et 2006, l'augmentation est de 19%
Pour augmenter un nombre de 19%, on le multiplie par 1+\dfrac{19}{100}
On obtient :
S_{2\ 006}=S_{2\ 005}\times\left(1+\dfrac{19}{100}\right)
S_{2\ 006}=15\ 000\times1{,}19
S_{2\ 006}=17\ 850
Subvention en 2007
Entre 2006 et 2007, l'augmentation est de 16%
Pour augmenter un nombre de 16%, on le multiplie par 1+\dfrac{16}{100}
On obtient :
S_{2\ 007}=S_{2\ 006}\times\left(1+\dfrac{16}{100}\right)
S_{2\ 007}=17\ 850\times1{,}16
S_{2\ 007}=20\ 706
Subvention en 2008
Entre 2007 et 2008, l'augmentation est de 14%
Pour augmenter un nombre de 14%, on le multiplie par 1+\dfrac{14}{100}
On obtient :
S_{208}=S_{2\ 007}\times\left(1+\dfrac{14}{100}\right)
S_{2\ 008}=20\ 706\times1{,}14
S_{2\ 008}=23\ 604{,}84
Subvention en 2009
Entre 2008 et 2009, l'augmentation est de 11%
Pour augmenter un nombre de 11%, on le multiplie par 1+\dfrac{11}{100}
On obtient :
S_{2\ 009}=S_{2\ 008}\times\left(1+\dfrac{11}{100}\right)
S_{2\ 009}=23\ 604{,}84\times1{,}11
S_{2\ 009}\approx26\ 201{,}37
Subvention en 2010
Entre 2009 et 2010, l'augmentation est de 9%
Pour augmenter un nombre de 9%, on le multiplie par 1+\dfrac{9}{100}
On obtient :
S_{2\ 010}=S_{2\ 009}\times\left(1+\dfrac{9}{100}\right)
S_{2\ 010}=26\ 201{,}37\times1{,}09
S_{2\ 010}\approx28\ 559{,}49
On obtient le tableau suivant :
| Année | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pourcentage d'évolution | 19% | 16% | 14% | 11% | 9% |
| Montant de la subvention (en €) | 17 850 | 20 706 | 23 604,84 | 26 201,37 | 28 559,49 |
Le responsable du club se plaint auprès du maire de la diminution année après année de cette subvention.
Quelle confusion le responsable fait-il ?
Le responsable du club confond le pourcentage d'augmentation de la subvention qui diminue effectivement chaque année, avec le montant de la subvention, qui augmente par contre chaque année.
Quel est le pourcentage d'évolution de la subvention entre 2005 et 2010 ?
Il est possible d'évaluer le pourcentage d'augmentation du montant de la subvention entre 2005 et 2010 de deux manières.
Rapport entre le montant de 2010 et celui de 2005
Entre 2005 et 2010, le montant de la subvention a été multiplié par :
\dfrac{28\ 559{,}49}{15\ 000}\approx1{,}90
Produit des coefficients multiplicateurs entre 2005 et 2010
Entre 2005 et 2010, le montant de la subvention a été multiplié par :
\left(1+\dfrac{19}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{16}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{14}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{11}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{9}{100}\right)\approx1{,}90
Dans les deux cas, on en déduit que le coefficient multiplicateur du montant de la subvention entre 2005 et 2010 est d'environ 1,90.
On a donc :
1+\dfrac{t}{100}=1{,}90
\Leftrightarrow\dfrac{t}{100}=0{,}90
\Leftrightarrow t=90
Le montant de la subvention accordée a donc augmenté d'environ 90%.