On considère l'équation différentielle (E_0) : y′ = y où y est une fonction dérivable de la variable réelle x.
Quelle est l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle (E_0) ?
On considère y=k une fonction constante, avec k \in \mathbb{R}.
On a alors :
y'=0
Or, la fonction y est solution de l'équation (E) si et seulement si y=y'.
On en déduit que la fonction y est solution de l'équation (E) si et seulement si y=0, c'est-à-dire si et seulement si k=0.
L'unique fonction constante solution de l'équation différentielle (E_0) est donc la fonction nulle.
Quelles sont les solutions de l'équation différentielle (E_0) ?
Les solutions de l'équation différentielle (E_0) sont les fonctions de la forme t \longmapsto C e^t avec C \in \mathbb{R}.
On considère l'équation différentielle (E ) : y′ = y - \cos(x) - 3 \sin(x) où y est une fonction dérivable de la variable réelle x.
La fonction h est définie sur \mathbb{R} par h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x).
On admet qu'elle est dérivable sur \mathbb{R}.
La fonction h est-elle solution de l'équation différentielle (E ) ?
Pour tout réel x, on a d'une part :
h′(x) = -2 \sin(x) + \cos(x)
D'autre part :
h(x) - \cos(x) - 3 \sin(x) \\= 2 \cos(x) + \sin(x) - \cos(x) - 3 \sin(x) \\= \cos(x) - 2 \sin(x)
Ainsi, pour tout réel x, on a :
h′(x) = h(x) - \cos(x) - 3 \sin(x)
Autrement dit, la fonction h est solution de l'équation différentielle (E ).
Oui, la fonction h est solution de l'équation différentielle (E ).
On considère une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}.
À quelle proposition l'affirmation « f est solution de (E) » est-elle équivalente ?
Supposons que f soit une solution de l'équation différentielle (E).
Pour tout réel x, on a :
( f - h)′(x) = f ′(x) - h′(x)
Or, les fonctions f et h sont solutions de l'équation différentielle (E).
On a donc, pour tout réel x :
- f'(x)=f(x)- \cos(x) - 3 \sin(x)
- h'(x)=h(x)- \cos(x) - 3 \sin(x)
Et on en déduit que, pour tout réel x :
( f - h)′(x) \\= f (x) -\text{cos}(x) - 3 \sin(x)-[ h(x)- \cos(x) - 3 \sin(x)] \\=f(x)-h(x)\\=(f-h)(x)
On en conclut que f-h est solution de l'équation différentielle (E_0).
Réciproquement, on suppose que f-h est solution de l'équation différentielle (E_0).
On a donc, pour tout réel x :
( f - h)′(x) = f (x) - h(x)
Soit f ′(x) - h′(x) = f (x) - h(x)
Par conséquent, pour tout réel x :
f ′(x) = f (x) - h(x) + h′(x)
Or, la fonction h est solution de l'équation différentielle (E).
Donc, pour tout réel x :
f'(x)\\=f (x) - h(x) + h(x) - \cos(x) - 3 \sin(x)\\=f (x) - \cos(x) - 3 \sin(x)
Ainsi, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E).
On en conclut que la fonction f est solution de (E) si et seulement si f-h est solution de (E_0).
L'affirmation « f est solution de (E) » est équivalente à « f-h est solution de (E_0) ».
Quelles sont les solutions de l'équation différentielle (E) ?
On sait que f est solution de (E) si et seulement si f-h est solution de (E_0).
On sait par ailleurs que les solutions de l'équation différentielle (E_0) sont les fonctions de la forme t \longmapsto C e^t avec C \in \mathbb{R}.
Par conséquent, les fonctions f solutions de (E) sont les fonctions telles que f-h=Ce^t où C \in \mathbb{R}, c'est-à-dire les fonctions de la forme Ce^t+h avec C \in \mathbb{R}.
Or, on sait que pour tout réel x, h(x)=2 \cos(x) + \sin(x).
On en conclut que les fonctions solutions de (E) sont les fonctions de la forme t\longmapsto Ce^t+2\cos(t)+\sin(t) où C \in \mathbb{R}.
Les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions de la forme t\longmapsto Ce^t+2\cos(t)+\sin(t) où C \in \mathbb{R}.
Quelle est l'unique solution g de l'équation différentielle (E ) telle que g (0) = 0 ?
On sait que les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions de la forme t\longmapsto Ce^t+2\cos(t)+\sin(t) où C \in \mathbb{R}.
On note g l'unique solution de l'équation différentielle (E ) telle que g (0) = 0.
La fonction g est de la forme t\longmapsto Ce^t+2\cos(t)+\sin(t) où C \in \mathbb{R}.
On a donc les équivalences suivantes :
g (0) = 0\\\Leftrightarrow Ce^0+2\cos(0)+\sin(0)=0\\\Leftrightarrow C+2+0=0\\\Leftrightarrow C=-2
On en conclut que la fonction g est définie ainsi :
Pour tout réel t, g(t)=-2e^t+2\cos(t)+\sin(t).
L'unique solution g de l'équation différentielle (E ) telle que g (0) = 0 est la fonction définie sur \mathbb{R} par g:t\longmapsto -2e^t+2\cos(t)+\sin(t).
Quelle est la valeur de \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left[ -2e^x+\sin(x)+2\cos(x) \right]\ \ \mathrm dx ?
Une primitive sur \mathbb{R} de la fonction t\longmapsto e^t est la fonction t\longmapsto e^t.
Une primitive sur \mathbb{R} de la fonction t\longmapsto \sin(t) est la fonction t\longmapsto -\cos(t).
Une primitive sur \mathbb{R} de la fonction t\longmapsto \cos(t) est la fonction t\longmapsto \sin(t).
On en déduit que :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left[ -2e^x+\sin(x)+2\cos(x) \right]\ \ \mathrm dx\\=\left[ -2e^x-\cos(x)+2\sin(x) \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\\= -2e^{\dfrac{\pi}{2}}-\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right)+2\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right)+2e^0+\cos(0)-2\sin(0)\\=-2e^{\dfrac{\pi}{2}}-0+2+2+1-0\\=-2e^{\dfrac{\pi}{2}}+5
La valeur de \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left[ -2e^x+\sin(x)+2\cos(x) \right]\ \ \mathrm dx est -2e^{\dfrac{\pi}{2}}+5.