La méthode d'Euler permet de donner la courbe approximative d'une fonction solution d'une équation différentielle.
Ici, on utilisera cette méthode pour résoudre l'équation E: y=y'.
Soit f une fonction solution de l'équation E: y'=y telle que f(0)=1. En notant x_0=0, et soit h un réel proche de 0.
On pose x_1 = x_0 + h, x_2 = x_1 + h, ..., x_{n+1} = x_n + h avec n\in \mathbb{N}.
On appelle approximation affine de f en x_n la relation suivante :
\forall n \in \mathbb{N}, f(x_n +h) \approx f(x_n) + hf'(x_n)
Quelle relation peut-on établir entre f(x_{n+1}) et f(x_n) ?
f étant solution de E, on a f=f'.
D'où :
f(x_n) + hf'(x_n) = f(x_n) + hf(x_n) = (h+1)f(x_n)
De plus, \forall n \in \mathbb{N}, f(x_{n+1}) = f(x_n+h).
En remplaçant dans l'approximation affine, on obtient donc :
\forall n \in \mathbb{N}, f(x_{n+1}) \approx (1+h)f(x_n)
On considère maintenant h=\dfrac{1}{2}.
On note, pour tout entier n, le point A_n(x_n, f(x_n)). Grâce à la méthode d'Euler, on peut construire un nombre N de points A_n qui nous donnera une courbe proche de la courbe de f.
On cherche à tracer une courbe approximative de f sur l'intervalle \left[ 0 ; 3 \right].
Lequel des tableaux de valeurs suivants est correct ?
Tout d'abord, on a h= \dfrac{1}{2}.
On peut donc réécrire la relation de la question précédente :
\forall n \in \mathbb{N}, f(x_{n+1}) \approx (1+h)f(x_n)\\\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, f(x_{n+1}) \approx (1+\dfrac{1}{2})f(x_n)\\\\\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, f(x_{n+1}) \approx 1{,}5f(x_n)\\\\
Le premier point à trouver est A_0, or on sait grâce à l'énoncé que x_0=0 et f(x_0)=1.
On a donc A_0(0, 1).
Le deuxième point à trouver est A_1.
On a :
x_1 = x_0 + 0{,}5 = 0 + 0{,}5 = 0{,}5
et
f(x_1)=1{,}5 \times f(x_0) = 1{,}5 \times 1 = 1{,}5
Donc A_1(0{,}5; 1{,}5).
Ensuite, pour trouver le troisième point A_2, on a :
x_2 = x_1 + 0{,}5 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1
et
f(x_2)=1{,}5 \times f(x_1) = 1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25
Donc A_2(1 ; 2{,}25).
On calcule de la même manière les coordonnées des points A_3, A_4, A_5, A_6, et on obtient le tableau de valeurs suivant :
On considère maintenant h=0{,}025.
On a le tableau de valeurs suivant qui donne les 30 premières valeurs approximatives de f ainsi que les valeurs correspondantes de la fonction exponentielle.
Que peut-on conjecturer ?
On remarque dans le tableau donné que \forall i \in \mathbb{N}_{i\lt 30}, exp(x_i)\approx f(x_i).
On peut donc faire la conjecture que la fonction f est la fonction exponentielle.
La conjecture faite à la question précédente est-elle vraie ?
On vérifie si f est la fonction exponentielle.
D'après le cours sur la fonction exponentielle, on sait que :
exp(0) = 1
et
\forall x \in \mathbb{R}, (exp(x))'=exp(x)
La fonction exponentielle est donc la solution de l'équation E: y'=y où exp(0)=1.
La conjecture est donc vraie.