La méthode d'Euler permet de donner la courbe approximative d'une fonction solution d'une équation différentielle.
Ici, on utilisera cette méthode pour résoudre l'équation E: y=y'.
Soit f une fonction solution de l'équation E: y'=y telle que f(0)=1. En notant x_0=0, et soit h un réel proche de 0.
On pose x_1 = x_0 + h, x_2 = x_1 + h, ..., x_{n+1} = x_n + h avec n\in \mathbb{N}.
On appelle approximation affine de f en x_n la relation suivante :
\forall n \in \mathbb{N}, f(x_n +h) \approx f(x_n) + hf'(x_n)
Quelle relation peut-on établir entre f(x_{n+1}) et f(x_n) ?
On considère maintenant h=\dfrac{1}{2}.
On note, pour tout entier n, le point A_n(x_n, f(x_n)). Grâce à la méthode d'Euler, on peut construire un nombre N de points A_n qui nous donnera une courbe proche de la courbe de f.
On cherche à tracer une courbe approximative de f sur l'intervalle \left[ 0 ; 3 \right].
Lequel des tableaux de valeurs suivants est correct ?
On considère maintenant h=0{,}025.
On a le tableau de valeurs suivant qui donne les 30 premières valeurs approximatives de f ainsi que les valeurs correspondantes de la fonction exponentielle.
Que peut-on conjecturer ?
La conjecture faite à la question précédente est-elle vraie ?