Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210 °C.
On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction f donnant la température du matériau injecté en fonction du temps t.
Le temps est exprimé en secondes et la température est exprimée en degrés Celsius.
On admet que la fonction f cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où m est une constante réelle que l'on cherche à déterminer :
(E) : y′ + 0{,} 02y = m
Partie A
Voici quatre affichages d'un logiciel de calcul formel.
Lequel est correct ?
On a les équivalences suivantes :
y′ + 0{,}02y = 0\\\Leftrightarrow y'=-0{,}02y
On sait que l'équation différentielle y′ =-0{,}02y a pour solutions les fonctions de la forme suivante :
y:t\longmapsto ke^{-0{,}02t} avec k \in \mathbb{R}, où k est un réel quelconque.
Par ailleurs, si on considère une fonction constante y=\alpha, on a alors y'=0.
Par conséquent, la fonction y=\alpha est solution de l'équation différentielle (E) : y′ + 0{,}02y = m si et seulement si 0{,}02 \alpha=m.
Or, 0{,}02 \alpha=m \Leftrightarrow \alpha=\dfrac{m}{0{,}02} \Leftrightarrow \alpha=50m
On en déduit que la fonction y=50m est une solution particulière de l'équation différentielle (E) : y′ + 0{,}02y = m.
On en déduit que les solutions de l'équation différentielle (E) : y′ + 0{,}02y = m sont les fonctions définies par :
t\longmapsto ke^{-0{,}02t}+50m où k \in \mathbb{R}
L'affichage correct est le suivant :
La température de l'atelier est de 30 °C.
On admet que la température f (t ) tend vers 30 °C lorsque t tend vers l'infini.
Quelle est la valeur de m ?
On sait que \lim\limits_{t \to +\infty} e^{-0{,}02t}=-\lim\limits_{T \to -\infty} e^{T}=0
Donc par composition des limites, \lim\limits_{t \to +\infty} e^{-0{,}02t}=0
Par conséquent, pour tout k \in \mathbb{R}, on a :
\lim\limits_{t \to +\infty}k e^{-0{,}02t}=0
Et on en déduit que, pour tout k \in \mathbb{R}, on a :
\lim\limits_{t \to +\infty}k e^{-0{,}02t}+50m=50m
Or, par hypothèse, on sait que \lim\limits_{t \to + \infty} f(t)=30.
Autrement dit, pour tout k \in \mathbb{R}, on a :
\lim\limits_{t \to +\infty}k e^{-0{,}02t}+50m=30
On obtient donc l'égalité suivante :
50m=30
On en déduit que :
m=\dfrac{30}{50}=0{,}6
La valeur de m est 0,6.
Quelle est l'expression de la fonction f cherchée en tenant compte de la condition initiale f (0) = 210 ?
On sait que les solutions de l'équation différentielle (E) : y′ + 0{,}02y = m sont les fonctions définies par :
t\longmapsto ke^{-0{,}02t}+50m où k \in \mathbb{R}
Or, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E).
Donc la fonction f est de la forme t\longmapsto ke^{-0{,}02t}+50m où k \in \mathbb{R}.
On sait par ailleurs que m=0{,}6.
On a donc :
50m=50\times0{,}6=30
On en déduit que la fonction f est de la forme t\longmapsto ke^{-0{,}02t}+30 où k \in \mathbb{R}.
Or, par hypothèse, on sait que f(0)=210.
On en déduit que :
ke^{-0{,}02\times 0}+30=210
D'où :
ke^0=180
Et on obtient finalement :
k=180
En conclusion, la fonction f est définie, pour tout t \in\mathbb{R}, par f(t)=180e^{-0{,}02t}+30.
En tenant compte de la condition initiale f (0) = 210, l'expression de la fonction f cherchée est, pour tout t \in\mathbb{R}, f(t)=180e^{-0{,}02t}+30.
Partie B
On admet ici que la température (exprimée en degrés Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en secondes) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :
f(t)=180e^{-0{,}02t}+30
L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50 °C.
Par lecture graphique, quelle proposition correspond à une valeur approchée du nombre T de secondes à attendre avant de démouler l'objet ?
On lit sur le graphique que T \approx 110.
Par lecture graphique, une valeur approchée du nombre T de secondes à attendre avant de démouler l'objet est 110 secondes.
Quelle est la valeur exacte de ce temps T ?
On résout l'équation f(t)=50.
On a les équivalences suivantes :
f(t) \lt 50\\\Leftrightarrow180e^{-0{,}02t}+30 \lt 50\\\Leftrightarrow 180e^{-0{,}02t} \lt 20\\\Leftrightarrow e^{-0{,}02t} \lt \dfrac{20}{180}\\\Leftrightarrow e^{-0{,}02t} \lt \dfrac{1}{9}\\
Par croissance de la fonction \ln sur ]0;+\infty[, on a :
e^{-0{,}02t} \lt \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow -0{,}02t \lt \ln\left( \dfrac{1}{9} \right)
Et par la suite :
-0{,}02t \gt \ln\left( \dfrac{1}{9} \right) \\\Leftrightarrow -0{,}02t \gt -\ln(9)\\\Leftrightarrow 0{,}02t \gt \ln(9)\\\Leftrightarrow t \gt \dfrac{\ln(9)}{0{,}02}\\\Leftrightarrow t \gt 50 \ln(9)
On en conclut que l'équation f(t) \lt 50 admet une solution : ]50 \ln(9);+\infty[.
La valeur exacte du temps T à partir duquel la température sera inférieure à 50°C est 50 \ln(9).
La valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes se calcule à l'aide d'une intégrale.
Quelle est cette valeur, approximativement ?
La valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes se calcule à l'aide de l'intégrale suivante :
\dfrac{1}{100}\int_{0}^{100} \left( 180e^{-0{,}02t}+30 \right)\ \mathrm dt
Une primitive de la fonction f:t\longmapsto 180e^{-0{,}02t}+30 sur \mathbb{R} est F:t\longmapsto \dfrac{180}{-0{,}02}e^{-0{,}02t}+30t.
On effectue donc les calculs de la manière suivante :
\dfrac{1}{100}\int_{0}^{100} \left( 180e^{-0{,}02t}+30 \right)\ \mathrm dt\\= \dfrac{1}{100} \left[ \dfrac{180}{-0{,}02} e^{-0{,}02t}+30t \right]_{0}^{100}\\= \dfrac{1}{100} \left[ -9\ 000 e^{-0{,}02t}+30t \right]_{0}^{100}\\= \dfrac{1}{100} \left[ -9\ 000 e^{-2} + 3\ 000 + 9\ 000 \right]\\=90(1-e^{-2})+30\\\approx 107{,}8
La valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes est environ égale à 107,8 °C.