La méthode d'Euler est utilisée pour approcher la courbe représentative d'une fonction f en utilisant sa dérivée.
Quelle est la définition du nombre dérivé en x_0 d'une fonction f dérivable en x_0 ?
Le nombre dérivé est la limite en 0 du taux d'accroissement entre x_0 et x_0 + h .
Donc f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .
Comment peut-on approcher une valeur de f(x_0 + h) ?
Par définition du nombre dérivé, on a :
f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
Pour h assez petit, on peut assimiler ces valeurs.
Donc :
f'(x_0) \approx \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
f(x_{0}+h)-f(x_{0})\approx hf'(x_{0})
Finalement, f(x_0+h) \approx f(x_0) + h f'(x_0) .
Quelle suite permet d'approcher successivement les valeurs de f en se déplaçant d'un pas h proche de 0 ?
On a :
f(x_0+h) \approx f(x_0) + h f'(x_0)
On part d'une valeur x_0 et on se déplace successivement en utilisant le fait que h soit proche de 0 :
f(x_0+h) = y_1 \approx f(x_0) + h f'(x_0) = y_0 + h f'(x_0)
On peut donc construire la suite :
x_{n+1} = x_n + h
y_{n+1} = y_n + h f'(x_n)