Quelle est la solution de l'équation différentielle (E) : y' + 5y = 1 qui s'annule en x = 1 ?
On réécrit l'équation (E) en isolant y' :
(E) : y' = -5y + 1
La fonction g définie par g(x) = – \dfrac{1}{-5} = \dfrac{1}{5} est une solution de (E) :
g'(x) + 5 g(x) = \left( \dfrac{1}{5} \right)' + 5 \times \dfrac{1}{5} = 0 + 1 = 1
On cherche les solutions de l'équation (E) sans second membre :
(E') : y' = -5y
Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y' = a \times y, a \in \mathbb{R} sont les fonctions h définies sur \mathbb{R} par :
h(x) = C \exp(a \times x) où C désigne une constante réelle.
Les solutions de (E') sont de la forme :
h(x) = C \exp\left( - 5x \right) , C \in \mathbb{R}
Enfin, pour trouver les solutions f de (E) on ajoute la solution particulière et la forme générale de l'équation sans second membre :
f(x) = C \exp\left( - 5x \right) + \dfrac{1}{5} , C \in \mathbb{R}
On sait que :
f(1) = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( - 5 \times 1 \right) + \dfrac{1}{5} = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( - 5 \right) + \dfrac{1}{5} = 0
\Leftrightarrow C = - \exp\left(5\right) \dfrac{1}{5}
\Leftrightarrow C = - \dfrac{1}{5} \exp(5)
Donc la solution de (E) qui s'annule en x = 1 est :
f(x) = \dfrac{1}{5}+\left(-\dfrac{1}{5}\exp(5)\exp(-5x)\right)
Ainsi, f(x) = \dfrac{1}{5} \left[1 - \exp(5(1-x)\right] .
Quelle est la solution de l'équation différentielle (E) : y' - 3y - 2 = 0 qui s'annule en x = 0 ?
On réécrit l'équation (E) en isolant y' :
(E) : y' = 3y + 2
La fonction g définie par g(x) = – \dfrac{2}{3} est une solution de (E) :
g'(x) - 3 g(x) = \left( – \dfrac{2}{3} \right)' - 3 \times \left( – \dfrac{2}{3} \right) = 0 + 2 = +2
On cherche les solutions de l'équation (E) sans second membre :
(E') : y' = 3y
Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y' = a \times y, a \in \mathbb{R} sont les fonctions h définies sur \mathbb{R} par :
h(x) = C \exp(a \times x) où C désigne une constante réelle.
Les solutions de (E') sont de la forme :
h(x) = C \exp\left( 3x \right) , C \in \mathbb{R}
Enfin, pour trouver les solutions f de (E) , on ajoute la solution particulière et la forme générale de l'équation sans second membre :
f(x) = C \exp\left( 3x \right) – \dfrac{2}{3} , C \in \mathbb{R}
On sait que :
f(1) = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( 3 \times 0 \right) – \dfrac{2}{3} = 0
\Leftrightarrow C – \dfrac{2}{3} = 0
\Leftrightarrow C = \dfrac{2}{3}
Donc la solution de (E) qui s'annule en x = 0 est :
f(x) =\dfrac{2}{3} \exp\left( 3 x \right) - \dfrac{2}{3}
Ainsi, f(x) = \dfrac{2}{3} \left( \exp\left( 3x \right) - 1 \right) .
Quelle est la solution de l'équation différentielle (E) : 2y' + y = 3 qui s'annule en x = 1 ?
On réécrit l'équation (E) en isolant y' :
(E) : y' = -\dfrac{y}{2} - \dfrac{3}{2}
La fonction g définie par g(x) = – \dfrac{ \dfrac{3}{2}}{ -\dfrac{1}{2}} = 3 est une solution de (E) :
2 g'(x) + g(x) = \left( 3 \right)' + 3 = 0 + 3 = 3
On cherche les solutions de l'équation (E) sans second membre :
(E') : y' = -\dfrac{y}{2}
Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y' = a \times y, a \in \mathbb{R} sont les fonctions h définies sur \mathbb{R} par :
h(x) = C \exp(a \times x) où C désigne une constante réelle.
Les solutions de (E') sont de la forme :
h(x) = C \exp\left( -\dfrac{x}{2} \right) , C \in \mathbb{R}
Enfin, pour trouver les solutions f de (E) on ajoute la solution particulière et la forme générale de l'équation sans second membre :
f(x) = C \exp\left( -\dfrac{x}{2} \right) + 3 , C \in \mathbb{R}
On sait que :
f(1) = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( -\dfrac{1}{2} \right) + 3 = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( -\dfrac{1}{2} \right) = -3
\Leftrightarrow C = -3 \exp\left(\dfrac{1}{2}\right)
Donc la solution de (E) qui s'annule en x = 1 est :
f(x) = -3 \exp\left(\dfrac{1}{2}\right) \exp\left(- \dfrac{x}{2} \right) + 3
Ainsi, f(x) = 3 \left( -\exp\left( \dfrac{1}{2}(1-x) \right) + 1 \right) .
Quelle est la solution de l'équation différentielle (E) : y' + y - 1 = 0 qui s'annule en x = 0 ?
On réécrit l'équation (E) en isolant y' :
(E) : y' = -y + 1
La fonction g définie par g(x) = – \dfrac{1}{-1} = 1 est une solution de (E) :
g'(x) + g(x) = \left( 1 \right)' + 1 = 0 + 1 = 1
On cherche les solutions de l'équation (E) sans second membre :
(E') : y' = -y
Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y' = a \times y, a \in \mathbb{R} sont les fonctions h définies sur \mathbb{R} par :
h(x) = C \exp(a \times x) où C désigne une constante réelle.
Les solutions de (E') sont de la forme :
h(x) = C \exp\left( -x \right) , C \in \mathbb{R}
Enfin, pour trouver les solutions f de (E) , on ajoute la solution particulière et la forme générale de l'équation sans second membre :
f(x) = C \exp\left( - x \right) + 1 , C \in \mathbb{R}
On sait que :
f(0) = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( - 0 \right) + 1 = 0
\Leftrightarrow C + 1 = 0
\Leftrightarrow C = - 1
Donc la solution de (E) qui s'annule en x = 0 est :
f(x) = - \exp\left( - x \right) + 1
Ainsi, f(x) = - \exp\left( - x \right) + 1 .
Quelle est la solution de l'équation différentielle (E) : 2y' + 6y - 4 = 0 qui s'annule en x = 2 ?
On réécrit l'équation (E) en isolant y' :
(E) : 2y' = -6y + 4
\Leftrightarrow y' = -3y + 2
La fonction g définie par g(x) = – \dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3} est une solution de (E) :
2g'(x) + 6g(x) - 4 = 2 \left( \dfrac{2}{3}\right)' + 6 \times \dfrac{2}{3} - 4 = 0 + 4 - 4 = 0
On cherche les solutions de l'équation (E) sans second membre :
(E') : y' = -3y
Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y' = a \times y, a \in \mathbb{R} sont les fonctions h définies sur \mathbb{R} par :
h(x) = C \exp(a \times x) où C désigne une constante réelle.
Les solutions de (E') sont de la forme :
h(x) = C \exp\left( -3x \right) , C \in \mathbb{R}
Enfin, pour trouver les solutions f de (E) , on ajoute la solution particulière et la forme générale de l'équation sans second membre :
f(x) = C \exp\left( -3 x \right) + \dfrac{2}{3} , C \in \mathbb{R}
On sait que :
f(2) = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( -3 \times 2 \right) + \dfrac{2}{3} = 0
\Leftrightarrow C \exp\left( -6 \right) = - \dfrac{2}{3}
\Leftrightarrow C = -\exp\left( 6 \right) \dfrac{2}{3}
\Leftrightarrow C = -\dfrac{2\exp\left( 6 \right)}{3}
Donc la solution de (E) qui s'annule en x = 2 est :
f(x) = -\dfrac{2\exp\left( 6 \right)}{3} \exp\left( -3x \right) + \dfrac{2}{3}
Ainsi, f(x) = \dfrac{2}{3} \left( -\exp\left( -3(x-2) \right) + 1 \right) .