Soient (X_1, ..., X_{10}) 10 variables aléatoires d'espérance \mu = 10 et de variance V = 20.
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
On pose \delta = 1 .
Dans ce cas, comment se traduit l'inégalité de concentration ?
L'inégalité de concentration est la suivante :
Soient (X_1, ..., X_n) n variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
Alors :
\forall \delta \gt 0
P( | M_n - \mu | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n \delta^2}
Dans le cas présent, on a bien \delta \gt 0 , et :
\dfrac{V}{n\delta^2} =\dfrac{20}{10\times 1} = 2
Ainsi, P( | M_n - 10 | \geqslant 1) \leqslant 2 .
Soient (X_1, ..., X_{12}) 12 variables aléatoires d'espérance \mu = 5 et de variance V = 96.
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
On pose \delta = 2 .
Dans ce cas, comment se traduit l'inégalité de concentration ?
L'inégalité de concentration est la suivante :
Soient (X_1, ..., X_n) n variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
Alors :
\forall \delta \gt 0
P( | M_n - \mu | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n \delta^2}
Dans le cas présent, on a bien \delta \gt 0 , et :
\dfrac{V}{n\delta^2} =\dfrac{96}{12\times 4} = \dfrac{96}{48} = 2
Ainsi, P( | M_n - 5 | \geqslant 2) \leqslant 2 .
Soient (X_1, ..., X_{100}) 100 variables aléatoires d'espérance \mu = 50 et de variance V = 200.
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
On pose \delta = 10 .
Dans ce cas, comment se traduit l'inégalité de concentration ?
L'inégalité de concentration est la suivante :
Soient (X_1, ..., X_n) n variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
Alors :
\forall \delta \gt 0
P( | M_n - \mu | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n \delta^2}
Dans le cas présent, on a bien \delta \gt 0 , et :
\dfrac{V}{n\delta^2} =\dfrac{200}{100\times 100} = \dfrac{2}{100} = 0{,}02
Ainsi, P( | M_n - 50| \geqslant 10) \leqslant 0{,}02 .
Soient (X_1, ..., X_{20}) 20 variables aléatoires d'espérance \mu = 35 et de variance V = 400.
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
On pose \delta = 20 .
Dans ce cas, comment se traduit l'inégalité de concentration ?
L'inégalité de concentration est la suivante :
Soient (X_1, ..., X_n) n variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i.
Alors :
\forall \delta \gt 0
P( | M_n - \mu | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n \delta^2}
Dans le cas présent, on a bien \delta \gt 0 , et :
\dfrac{V}{n\delta^2} =\dfrac{400}{20\times 400} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05
Ainsi, P( | M_n - 35| \geqslant 20) \leqslant 0{,}05 .
Soient (X_1, ..., X_{50}) 50 variables aléatoires d'espérance \mu = 28 et de variance V = 100.
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
On pose \delta = 4 .
Dans ce cas, comment se traduit l'inégalité de concentration ?
L'inégalité de concentration est la suivante :
Soient (X_1, ..., X_n), n variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
On note M_n la variable aléatoire moyenne des X_i .
Alors :
\forall \delta \gt 0
P( | M_n - \mu | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n \delta^2}
Dans le cas présent, on a bien \delta \gt 0 , et :
\dfrac{V}{n\delta^2} =\dfrac{100}{50\times 16} = \dfrac{2}{16} = 0{,}125
Ainsi, P( | M_n - 28| \geqslant 4) \leqslant 0{,}125 .