Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 0 et de variance V = 1 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 0,05 de l'espérance dans 90 % des cas ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors, pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on a donc :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}05 \right) \leq \dfrac{1}{n\times 0{,}05^2}= \dfrac{400}{n}
On cherche à résoudre :
\dfrac{400}{n}\leq 1-0{,}9=0{,}1 \Rightarrow \dfrac{n}{400} \geq 10\Rightarrow n \geq \text{4 000}
Ainsi, on doit choisir n \geq \text{4 000} .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 1 et de variance V = 10 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 0,1 de l'espérance dans 90 % des cas ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on a donc :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}1 \right) \leq \dfrac{10}{n\times 0{,}1^2}= \dfrac{\text{1 000}}{n}
On cherche à résoudre :
\dfrac{\text{1 000}}{n}\leq 1-0{,}9=0{,}1 \Rightarrow \dfrac{n}{\text{1 000}}\geq 10\Rightarrow n \geq \text{10 000}
Ainsi, on doit choisir n \geq \text{10 000}.
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 10 et de variance V = 4 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 0,02 de l'espérance dans 95 % des cas ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on a donc :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}02 \right) \leq \dfrac{4}{n\times 0{,}02^2}= \dfrac{10\,000}{n}
On cherche à résoudre :
\dfrac{10\,000}{n}\leq 1-0{,}95=0{,}05 \Rightarrow \dfrac{n}{10\, 000}\geq 20 \Rightarrow n \geq \text{200 000}
Ainsi, on doit choisir n \geq 200\,000 .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 0{,}1 et de variance V = 0{,}01 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 0,01 de l'espérance dans 85 % des cas ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on a donc :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}01 \right) \leq \dfrac{0{,}01}{n\times 0{,}01^2}= \dfrac{100}{n}
On cherche à résoudre :
\dfrac{100}{n}\leq 1-0{,}85=0{,}15 \Rightarrow \dfrac{n}{100}\geq \dfrac{1}{0{,}15}\Rightarrow n \geq 666{,}666...
Ainsi, on doit choisir n \geq 667 .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 0{,}01 et de variance V = 0{,}2 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 0,05 de l'espérance dans 95 % des cas ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on a donc :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}05 \right) \leq \dfrac{0{,}2}{n\times 0{,}05^2}= \dfrac{80}{n}
On cherche à résoudre :
\dfrac{80}{n}\leq 1-0{,}95=0{,}05 \Rightarrow \dfrac{n}{80}\geq 20\Rightarrow n \geq 1\,600
Ainsi, on doit choisir ( n \geq 1\,600 \).