Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 130 et de variance V = 10 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 15 de l'espérance avec une probabilité d'au moins 99 % ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors, pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
On cherche à avoir :
P\left(|M_n-\mu|\leq 15\right)\geq 0{,}99
Soit :
P\left(|M_n-\mu|\geq 15\right)\leq 1-0{,}99
P\left(|M_n-\mu|\geq 15\right)\leq 0{,}01
En remplaçant \delta et V par leurs valeurs dans l'inégalité de concentration, on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq 15 \right) \leq \dfrac{10}{n\times 15^2}
Choisir n tel que \dfrac{10}{n\times 15^2}\leq 0{,}01 convient.
On cherche donc à résoudre :
\dfrac{10}{n\times 15^2}\leq 0{,}01
Or :
\dfrac{10}{n\times 15^2}\leq 0{,}01 \Leftrightarrow \dfrac{10}{225n} \leq 0{,}01
\dfrac{10}{n\times 15^2}\leq 0{,}01 \Leftrightarrow 10 \leq 0{,}01\times 225n
\dfrac{10}{n\times 15^2}\leq 0{,}01 \Leftrightarrow \dfrac{10}{0{,}01\times 225} \leq n
Or, \dfrac{10}{0{,}01\times 225}\approx 4{,}4.
On peut donc choisir n tel que n \geq 5 .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 1 et de variance V = 0{,}1 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 0,1 de l'espérance avec une probabilité d'au moins 85 % ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors, pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
On cherche à avoir :
P\left(|M_n-\mu|\leq 0{,}1\right)\geq 0{,}85
Soit :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}1\right)\leq 1-0{,}85
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}1\right)\leq 0{,}15
En remplaçant \delta et V par leurs valeurs dans l'inégalité de concentration, on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq 0{,}1 \right) \leq \dfrac{0{,}1}{n\times 0{,}1^2}
Choisir n tel que \dfrac{0{,}1}{n\times 0{,}1^2}\leq 0{,}15 convient.
On cherche donc à résoudre :
\dfrac{0{,}1}{n\times 0{,}1^2}\leq 0{,}15
Or :
\dfrac{0{,}1}{n\times 0{,}1^2}\leq 0{,}15 \Leftrightarrow \dfrac{10}{n} \leq 0{,}15
\dfrac{0{,}1}{n\times 0{,}1^2}\leq 0{,}15 \Leftrightarrow 10 \leq 0{,}15\times n
\dfrac{0{,}1}{n\times 0{,}1^2}\leq 0{,}15 \Leftrightarrow \dfrac{10}{0{,}15} \leq n
Or \dfrac{10}{0{,}15}\approx 66{,}7.
On peut donc choisir n tel que n \geq 67 .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 10 et de variance V = 4 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 5 de l'espérance avec une probabilité d'au moins 95 % ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors, pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
On cherche à avoir :
P\left(|M_n-\mu|\leq 5\right)\geq 0{,}95
Soit :
P\left(|M_n-\mu|\geq 5\right)\leq 1-0{,}95
P\left(|M_n-\mu|\geq 5\right)\leq 0{,}05
En remplaçant \delta et V par leurs valeurs dans l'inégalité de concentration, on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq 5 \right) \leq \dfrac{4}{n\times 5^2}
Choisir n tel que \dfrac{4}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 convient.
On cherche donc à résoudre :
\dfrac{4}{n\times 5^2}\leq 0{,}05
Or :
\dfrac{4}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 \Leftrightarrow \dfrac{4}{25n} \leq 0{,}05
\dfrac{4}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 \Leftrightarrow 4 \leq 0{,}05\times 25n
\dfrac{4}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 \Leftrightarrow \dfrac{4}{1{,}25} \leq n
Or, \dfrac{4}{1{,}25}\approx 3{,}2.
On peut donc choisir n tel que n \geq 4 .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 5 et de variance V = 1 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 1 de l'espérance avec une probabilité de 85 % ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors, pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
On cherche à avoir :
P\left(|M_n-\mu|\leq 1\right)\geq 0{,}85
Soit :
P\left(|M_n-\mu|\geq 1\right)\leq 1-0{,}85
P\left(|M_n-\mu|\geq 1\right)\leq 0{,}15
En remplaçant \delta et V par leurs valeurs dans l'inégalité de concentration, on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq 1 \right) \leq \dfrac{1}{n\times 1^2}
Choisir n tel que \dfrac{1}{n\times 1^2}\leq 0{,}15 convient.
On cherche donc à résoudre :
\dfrac{1}{n\times 1^2}\leq 0{,}15
Or :
\dfrac{1}{n\times 1^2}\leq 0{,}15 \Leftrightarrow \dfrac{1}{n} \leq 0{,}15
\dfrac{1}{n\times 1^2}\leq 0{,}15\Leftrightarrow 1 \leq 0{,}15\times n
\dfrac{1}{n\times 1^2}\leq 0{,}15 \Leftrightarrow \dfrac{1}{0{,}15} \leq n
Or, \dfrac{1}{0{,}15}\approx 6{,}7.
On peut donc choisir n tel que n \geq 7 .
Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu = 25 et de variance V = 5 .
Comment doit-on choisir la taille n d'un échantillon pour que la moyenne de l'échantillon soit éloignée au maximum de 5 de l'espérance avec une probabilité de 95 % ?
Soit n un entier naturel non nul. Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2 ; \cdots; X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.
Alors pour tout réel \delta>0 , on a l'inégalité de concentration :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
On cherche à avoir :
P\left(|M_n-\mu|\leq 5\right)\geq 0{,}95
Soit :
P\left(|M_n-\mu|\geq 5\right)\leq 1-0{,}95
P\left(|M_n-\mu|\geq 5\right)\leq 0{,}05
En remplaçant \delta et V par leurs valeurs dans l'inégalité de concentration, on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq 5 \right) \leq \dfrac{5}{n\times 5^2}
Choisir n tel que \dfrac{5}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 convient.
On cherche donc à résoudre :
\dfrac{5}{n\times 5^2}\leq 0{,}05
Or :
\dfrac{5}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 \Leftrightarrow \dfrac{1}{5n} \leq 0{,}05
\dfrac{5}{n\times 5^2}\leq 0{,}05\Leftrightarrow 1 \leq 0{,}05\times 5n
\dfrac{5}{n\times 5^2}\leq 0{,}05 \Leftrightarrow \dfrac{1}{0{,}25} \leq n
Or, \dfrac{1}{0{,}25}=4.
On peut donc choisir n tel que n \geq 4 .