Une fourmi se déplace sur une règle gradué. Au départ, la fourmi est au point 0.
La fourmi se déplace d'un centimètre toutes les secondes.
À chaque seconde, la probabilité que la fourmi se déplace vers la gauche est de 0,7.
On étudie la position de la fourmi après 2 secondes.
On note :
- D l'événement : « La fourmi se déplace à droite » ;
- G l'événement : « La fourmi se déplace à gauche ».
Quel arbre de probabilité représente les deux premiers choix de la fourmi ?
Quelle est la probabilité que la fourmi aille à droite en sachant qu'à l'étape précédente elle est allée à gauche ?
Le choix de direction à chaque étape est indépendant du choix précédent.
Donc :
P(D_G) = P(D) = 0{,}3
La probabilité que la fourmi aille à droite en sachant qu'à l'étape précédente elle est allée à gauche est donc :
P(D_G)=0{,}3
On note I l'événement : « La fourmi est revenue au centre après deux choix de direction ».
Quelle est la propabilité P(I) ?
On regarde l'arbre pondéré qui représente les deux premiers choix de la fourmi.
Si la fourmi fait deux fois le même choix, c'est-à-dire si elle va deux fois à gauche ou deux fois à droite, elle ne sera pas au milieu du retour au point de départ.
Si la fourmi fait deux choix différents, elle sera de retour au point de départ. Ce sont les cas auxquels on s'intéresse.
On remarque que deux branches de l'arbre pondéré mènent à l'événement I, ce sont les deux branches du milieu.
Ainsi :
P(I) = P(D)\times P(G_D) + P(G)\times P(D_G)
Comme les choix de direction sont indépendants :
P(I) = P(D)\times P(G) + P(G)\times P(D)
P(I) = 2\times P(D)\times P(G)
P(I) = 2\times 0{,}3\times 0{,}7
P(I) = 0{,}42
La probabilité que la fourmi soit revenue au point de départ après deux choix de direction est donc :
P(I)=0{,}42
À chaque étape, deux options se présentent à la fourmi : aller à droite ou aller à gauche.
On sait que la probabilité pour que la fourmi se déplace à gauche est de 0,7.
Donc :
P(G) = 0{,}7
Donc :
P(D) = 1 - P(G) = 0{,}3
On répète deux fois l'expérience du choix de direction.
L'arbre de probabilité qui représente les deux premiers choix de la fourmi est donc le suivant :
