Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Léo veut fabriquer un chapeau en forme de cône pour se déguiser en sorcier lors de la fête d'Halloween.
Voici la représentation de ce chapeau en perspective cavalière.
Le rayon OM de la base de ce cône mesure 9 cm et la hauteur OS mesure 30 cm.
Quelle est la longueur MS, arrondie au dixième de centimètre ?
Le triangle SOM est rectangle en O.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
MS^2=OM^2+OS^2
On sait que OM = 9 \text { cm} et que OS = 30 \text{ cm}.
Par conséquent, on obtient :
MS^2=9^2+30^2
D'où :
MS^2=81+900
Et ainsi :
MS^2=981
Finalement, on obtient :
MS=\sqrt{981}
En arrondissant au dixième de centimètre, on obtient :
MS\approx31{,}3 \text{ cm}
La longueur MS, arrondie au dixième de centimètre, est égale à 31,3 cm.
Léo souhaite vérifier que le chapeau sera adapté à son tour de tête qui mesure 56 cm.
Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau sont-elles adaptées au tour de tête de Léo ?
La base du cône est un cercle de rayon 9 cm.
On calcule sa circonférence :
2\times\pi\times9=18\times\pi
ce qui donne environ 56,5 cm.
Le tour de tête de Léo mesure 56 cm.
Par conséquent, les dimensions choisies sont adaptées.
Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau sont adaptées au tour de tête de Léo.
Léo a représenté ci-contre le patron de son chapeau.
Il a reporté dessus les mesures des longueurs qu'il connaît et nommé \overset{\frown}{M'M} l'arc de cercle de longueur 56,5 cm.
Quelle est la longueur du cercle de centre S et de rayon SM, arrondie au dixième de centimètre ?
Le cercle de rayon SM a un rayon de 31,3 cm.
On calcule sa circonférence :
2\times\pi\times31{,}3=62{,}6\times\pi
2\pi \times 31{,}3 ≈ 196{,}66
En arrondissant au dixième de centimètre, on obtient 196,7 cm.
La longueur du cercle de centre S et de rayon SM, arrondie au dixième de centimètre, est égale à 196,7 cm.
Pour dessiner en grandeur réelle son chapeau, Léo a besoin de calculer la mesure de l'angle \widehat{M'SM} qui est proportionnelle à la longueur de l'arc de cercle \overset{\frown}{M'M}.
Il décide de représenter cette situation par le tableau de proportionnalité suivant :
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{M'SM} correspondant à une longueur d'arc de 56,5 cm qui permettra à Léo de tracer le patron de son chapeau, arrondie au degré ?
Utiliser le tableau donné et y placer la valeur 196,7 obtenue à la question précédente.
Voici le tableau complété :
On utilise le tableau de proportionnalité pour calculer la valeur exacte de l'angle.
En effectuant un produit en croix, on obtient :
\widehat{M'SM} = \dfrac{360\times56{,}5}{196{,}7}
Nous obtenons 103,4°. En arrondissant au degré près, on obtient 103°.
La mesure de l'angle \widehat{M'SM} correspondant à une longueur d'arc de 56,5 cm qui permettra à Léo de tracer le patron de son chapeau, arrondie au degré, est égale à 103°.
Partie B
On rappelle que la hauteur du chapeau mesure 30 cm.
Quel est le volume total du chapeau, arrondi au cm³ ?
On rappelle que le volume d'un cône de rayon R et de hauteur h est V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times{R^2}\times{h}.
Le volume total du chapeau est donné par :
V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times9^2\times30
On obtient 810\times\pi.
En arrondissant au cm³, on obtient environ 2 545 cm³.
Le volume total du chapeau, arrondi au cm³, est égal à 2 545 cm³.
Léo décide d'utiliser son chapeau pour transporter les bonbons qu'il a récoltés pendant la fête d'Halloween.
En arrivant chez lui, il constate que les bonbons atteignent le milieu de la hauteur de son chapeau.
Il estime que sa récolte de bonbons n'a pas été bonne car il pense que le volume occupé par les bonbons représente moins de 15 % du volume total de son chapeau.
Son estimation est-elle correcte ?
Les bonbons atteignent le milieu de la hauteur de son chapeau.
Cela signifie que la partie remplie de bonbons (celle qui est grisée sur la figure) est une réduction de rapport \dfrac{1}{2} du chapeau complet.
Dans une réduction de rapport \dfrac{1}{2}, les longueurs sont multipliées par \dfrac{1}{2} et les volumes par \left( \dfrac{1}{2} \right)^3, c'est-à-dire par \dfrac{1}{8} ou encore 0,125.
Ainsi, le volume de bonbons est obtenu en multipliant le volume du chapeau par 0,125.
Or, 0{,}125 = 12{,}5 \text{ \%}.
Cela signifie donc que le volume de bonbons est égal à 12,5 % du volume total de chapeau.
Or 12{,}5 \text{ \%} \lt 15 \text{ \%}.
Par conséquent, Léo a raison dans son estimation.
L'estimation de Léo est correcte.