La sphère et la boule
La sphère et la boule sont deux solides ne possédant aucune face plate. On calcule l'aire de la sphère et le volume de la boule.
La sphère
La sphère est un solide qui ne possède aucune face plate. Il s'agit d'un ensemble vide dont on peut calculer l'aire.
Définition de la sphère
Une sphère de centre A et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance au centre est égale à R.
Sphère
Soient un point A dans l'espace et un nombre positif R.
La sphère de centre le point A et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance au point A est égale à R.
Autrement dit, un point M de l'espace appartient à la sphère de centre A et de rayon R à condition que AM=R.
Tous les points autres que le point A de la figure représentée sur le schéma suivant appartiennent à la sphère de centre A et de rayon 5 cm.
Une sphère est un solide de l'espace qui n'est pas un polyèdre.
On ne peut pas en réaliser un patron.
Les planisphères de la planète Terre ne peuvent donc pas représenter les différents continents avec leurs formes réelles.
L'aire de la sphère
L'aire de la sphère de centre le point A et de rayon R est \mathcal{A}=4\pi R^2.
Soient un point A de l'espace et un nombre positif R.
L'aire de la sphère de centre le point A et de rayon R est :
\mathcal{A}=4\pi R^2
On considère la sphère de rayon 5 cm représentée sur le schéma suivant :
L'aire de la sphère est donc égale à :
\mathcal{A}=4\pi\times 5^2
\mathcal{A}=100\pi \text{ cm}^2
La boule
La boule est un solide qui ne possède aucune face plate. Il s'agit d'un ensemble plein dont on peut calculer le volume.
Définition de la boule
Une boule est l'ensemble des points de l'espace compris dans le rayon d'une sphère.
Boule
Soient un point A dans l'espace et un nombre positif R.
La boule de centre le point A et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance au point A est inférieure ou égale à R.
Autrement dit, un point M de l'espace appartient à la sphère de centre A et de rayon R à condition que AM\leq R.
Tous les points autres que le point A de la figure suivante appartiennent à la boule de centre A et de rayon 5 cm.
Soient un point A de l'espace et un nombre positif R.
La sphère de centre A et de rayon R est incluse dans la boule de centre A et de rayon R.
Le volume de la boule
Le volume de la boule de centre le point A et de rayon R est \mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\pi R^3.
Soient un point A de l'espace et un nombre positif R.
Le volume de la boule de centre le point A et de rayon R est :
\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\pi R^3
On considère la sphère de rayon 5 cm représentée sur le schéma suivant :
Le volume de la boule est donc égal à :
\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\pi\times 5^3
\mathcal{V}=\dfrac{500}{3}\pi \text{ cm}^3
Le calcul de volumes d'assemblages de solides
Pour calculer le volume d'un assemblage de solides connus, on calcule les volumes des solides qui le composent puis on les additionne.
Lorsqu'un solide est un assemblage de plusieurs solides connus, on calcule le volume de l'assemblage en additionnant les volumes des différents solides connus qui le composent.
Le solide ci-dessous est l'assemblage des trois solides suivants :
- un cylindre de révolution de hauteur 3 cm et de rayon 2 cm ;
- un cône de révolution de hauteur 3 cm et de rayon 2 cm ;
- un cône de révolution de hauteur 2 cm et de rayon 2 cm.
La formule du calcul du volume d'un cylindre est :
V=\pi\times r^2\times h
Le volume du cylindre de la figure est donc :
\mathcal{V}_1=\pi\times 2^2\times 3=12\pi\ \text{cm}^3
La formule du calcul du volume d'un cône est :
V=\dfrac{1}{3}\pi\times r^2\times h
Le volume du premier cône de la figure est donc :
\mathcal{V}_2=\dfrac{1}{3}\pi\times 2^2\times 3=4\pi\ \text{cm}^3
Le volume du second cône de la figure est :
\mathcal{V}_3=\dfrac{1}{3}\pi\times 2^2\times 2=\dfrac{8}{3}\pi\ \text{cm}^3
Le volume de l'assemblage de ces trois solides est :
\mathcal{V}=\mathcal{V_1}+\mathcal{V_2}+\mathcal{V_3}
\mathcal{V}=12\pi+4\pi+\dfrac{8}{3}\pi
\mathcal{V}=\dfrac{56}{3}\pi\ \text{cm}^3