Dans cet exercice, on considère la figure codée suivante.
- Les points A, C et E sont alignés.
- Les points B, C et D sont alignés.
- AB = 240 \text{ mm}
- CE = 80 \text{ mm}
(Le dessin ci-dessous n'est pas à l'échelle.)
Partie A
Le triangle ABC est-il équilatéral ?
On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici, dans le triangle ABC, on a :
\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°
Or, on sait que :
\widehat{CAB}=\widehat{ABC}=60°
Donc, on obtient :
60°+60°+\widehat{BCA}=180°
Et on en déduit que :
\widehat{BCA}=180°-60°-60°=60°
Ainsi, les trois angles du triangle ABC sont de même mesure.
Or, un triangle dont les trois angles sont de même mesure est un triangle équilatéral.
Par conséquent, le triangle ABC est équilatéral.
Oui, le triangle ABC est équilatéral.
Les droites (DE) et (AB) sont-elles parallèles ?
On sait que le triangle ABC est équilatéral.
Or, un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur.
On en déduit que :
CA = BC = AB = 240 \text{ mm}
De même, on sait que le triangle CDE est équilatéral.
Donc :
CD = DE = EC = 80 \text{ mm}
Par ailleurs, on sait que :
- Les points A, C et E sont alignés.
- Les points B, C et D sont alignés dans le même ordre.
On compare les quotients \dfrac{CD}{CB} et \dfrac{CE}{CA}.
D'une part :
\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{80}{240}
D'autre part :
\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{80}{240}
Ainsi, les quotients \dfrac{CD}{CB} et \dfrac{CE}{CA} sont égaux.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Oui, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Partie B
On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.
Ce programme comporte une variable nommée « côté ».
Les longueurs sont données en pas : 1 pas représente 1 mm.
On rappelle que l'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.
Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?
Les coordonnées du point de départ du lutin sont indiquées dans le deuxième bloc du programme.
Les coordonnées du point de départ du lutin sont (-180 ; -150).
Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ?
On souhaite que le premier triangle tracé fasse 240 pas de côté.
Donc, à la ligne 4 du programme, on doit affecter la valeur 240 à la variable « côté ».
La valeur qui doit être saisie à la ligne 4 dans le programme est 240.
Le lutin démarre à la case D8.
Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu'il vient d'exécuter la ligne 7 du programme ?
Le lutin passe successivement par les cases suivantes :
- D8
- J8
- G3
- D8 (le lutin a alors terminé de tracer le grand triangle)
- G3 (le lutin se déplace pour aller tracer le petit triangle)
Le lutin a tracé le grand triangle et se retrouve au point de départ en D8. Ce point correspond au point A sur la figure. Il regarde alors vers la droite.
- H1
Il a tourné de 60°.
- F1
Il a avancé de 240 pas, donc il est sur la figure au point C, ce qui correspond à la case G3.
- G3 (le lutin a alors terminé de tracer le petit triangle)
Lorsqu'il vient d'exécuter la ligne 7 du programme, le lutin se trouve dans la case G3.
Quelle est la signification de l'instruction « côté /3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure ?
La longueur d'un côté du petit triangle, à savoir 80 mm, est égale au tiers de la longueur d'un côté du grand triangle, à savoir 240 mm.
À l'instruction 8, on doit donc modifier la valeur de la variable « côté » en la divisant par 3.
L'instruction « côté /3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure signifie que l'on divise par 3 la longueur d'un côté du grand triangle pour obtenir la longueur d'un côté du petit triangle.