Sur quel intervalle la fonction x \mapsto x^2 est-elle croissante ?
Soient x et y deux réels, avec x \leq y .
En utilisant l'identité remarquable :
y^2 - x^2 = (y-x)(y + x)
On sait que y -x \geq 0 , puisque x \leq y . Il suffit de connaître le signe de y+x pour connaître le signe de y^2 - x^2 .
Si x,y \leq 0 , alors :
y+x \leq 0
et
y^2 - x^2 \leq 0 \iff y^2 \leq x^2
La fonction carré est décroissante sur ]-\infty, 0] .
Si x,y \geq 0 , alors :
y+x \geq 0
et
y^2 - x^2 \geq 0 \iff y^2 \geq x^2
La fonction carré est croissante sur [0, +\infty[ .
Ainsi, la fonction carré est décroissante sur \mathbb{R}_- et croissante sur \mathbb{R}_+ .
Sur quel intervalle la fonction x \mapsto 3x+2 est-elle croissante ?
La fonction f d'expression f(x) = 3x+2 est une fonction affine.
Soit x,y \in \mathbb{R} tels que x\leq y :
f(y)-f(x)=3y+2-(3x+2)
f(y)-f(x)=3y+2-3x-2
f(y)-f(x)=3(y-x)
Comme y-x\geq 0 , on en déduit :
f(y) - f(x)\geq 0
Soit f(y)\geq f(x).
Ceci étant valable quels que soient les réels x et y tels que x\leq y, la fonction x \mapsto 3x + 2 est donc croissante sur \mathbb{R} .
Sur quel intervalle la fonction x \mapsto -2x+1 est-elle croissante ?
La fonction f f(x) = -2x+1 est une fonction affine.
Soit x,y \in \mathbb{R} tels que x\leq y :
f(y)-f(x)=-2y+1-(-2x+1)
f(y)-f(x)=-2y+1+2x-1
f(y)-f(x)=-2(y-x)
Comme y-x\geq 0 , on en déduit :
f(y) - f(x)\leq 0
Soit f(y)\leq f(x).
Ceci étant valable quels que soient les réels x et y tels que x\leq y, la fonction f est décroissante sur \mathbb{R}.
On remarque que si l'on avait choisi x et y tels que x<y, on aurait obtenu :
f(y)<f(x)
La fonction f est donc strictement décroissante sur \mathbb{R}.
Ainsi, la fonction x \mapsto -2x+1 n'est jamais croissante.
Sur quel intervalle la fonction suivante est-elle croissante ?
Soient x et y deux réels, avec x \leq y .
D'après la représentation graphique de la fonction, si x \leq y , le seul intervalle sur lequel on a f(x) \leq f(y) est \mathbb{R}_- .
Sur quel intervalle la fonction suivante est-elle croissante ?
Soient x et y deux réels, avec x \leq y .
D'après la représentation graphique de la fonction, si x \leq y , les seuls intervalles sur lesquels on a f(x) \leq f(y) sont :
]-\infty; -1{,}08]
et
[0; 1{,}08]
La fonction est donc croissante sur ]-\infty; -1{,}08] et sur [0; 1{,}08] .