Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Schéma de Bernoulli
Epreuve et loi de Bernoulli
Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :
- Succès S, obtenu avec une probabilité p (nombre réel compris entre 0 et 1).
- Echec \overline{S}, obtenu avec la probabilité 1 - p.
Une usine produit des téléphones portables. En général, 5% des téléphones sont défectueux et les autres sont en parfait état.
Si on choisit au hasard un téléphone dans la production, deux issues sont possibles :
- "Le téléphone choisi est en bon état", appelé succès S, de probabilité p=0{,}95 ;
- "Le téléphone choisi est défectueux", appelé échec \overline{S}, de probabilité 1-p=0{,}05.
L'expérience aléatoire consistant à choisir un téléphone au hasard dans la production et vérifier son état est une épreuve de Bernoulli.
Loi de Bernoulli
Soit un réel p compris entre 0 et 1. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si :
- X\left(\Omega\right) = \{ 0 ; 1 \}
- P\left(X = 1\right) = p et P\left(X = 0\right) = 1 - p
Une usine produit des téléphones portables. En général, 5% des téléphones sont défectueux et les autres sont en parfait état.
Si on choisit au hasard un téléphone dans la production, deux issues sont possibles :
- "Le téléphone choisi est en bon état" (succès S ), de probabilité p=0{,}95 ;
- "Le téléphone choisi est défectueux" (échec \overline{S} ), de probabilité 1-p=0{,}05.
On nomme X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 s'il y a succès, et la valeur 0 sinon.
On a donc :
- X\left(\Omega\right) = \{ 0 ; 1 \}
- P\left(X=1\right)=p=0{,}95
- P\left(X=0\right)=1-p=0{,}05
La variable aléatoire X suit donc une loi de Bernoulli de paramètre 0,95.
Espérance d'une loi de Bernoulli
Si une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, on a :
E\left(X\right) = p
Considérons une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,95. On a :
E\left(X\right)=p=0{,}95
Variance et écart-type d'une loi de Bernoulli
Si une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, on a :
V\left(X\right) = p\left(1 - p\right)
\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{p\left(1-p\right)}
Considérons une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,95.
On a alors :
- V\left(X\right)=p\left(1-p\right)=0{,}95\times0{,}05=0{,}0475
- \sigma\left(X\right)=\sqrt{0{,}0475}\approx0{,}218.
Schéma de Bernoulli
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter n fois de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli, où n est un entier naturel non nul. Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : n le nombre de répétitions de l'épreuve et p le paramètre de l'épreuve de Bernoulli répétée (c'est-à-dire la probabilité du "succès" sur l'épreuve de Bernoulli répétée).
On peut représenter un schéma de Bernoulli de paramètres n et p par un arbre de probabilité à 2^n branches.
Les issues sont des n -uplets dont les n termes sont S pour "Succès" ou \overline{S} pour "Echec".
Une usine produit des téléphones portables. En général, 5% des téléphones sont défectueux et les autres sont en parfait état.
Si on choisit au hasard un téléphone dans la production et qu'on vérifie son état, deux issues sont possibles :
- "Le téléphone choisi est en bon état", appelé succès S, de probabilité p=0{,}95 ;
- "Le téléphone choisi est défectueux", appelé échec \overline{S}, de probabilité 1-p=0{,}05.
L'expérience aléatoire consistant à choisir un téléphone au hasard dans la production et vérifier son état est une épreuve de Bernoulli.
On prélève maintenant 10 téléphones successivement dans la production de manière indépendante et on vérifie leur état. On répète ainsi 10 fois l'épreuve de Bernoulli : c'est un schéma de Bernoulli de paramètres n=10 et p=0{,}95.
Une issue possible de cette expérience est par exemple \left( S, S,S,\overline{S},\overline{S},S,S,\overline{S},S,S\right), correspondant à une situation où 7 téléphones sont en bon état et 3 défectueux.
La probabilité d'un événement élémentaire d'un schéma de Bernoulli s'obtient en faisant le produit des probabilités des événements élémentaires obtenus à chaque épreuve de Bernoulli.
Si un schéma de Bernoulli a pour paramètres n=4 et p=0{,}3, alors l'issue \left( S,\overline{S},\overline{S},S \right) a pour probabilité 0{,}3\times 0{,}7\times 0{,}7\times 0{,}3=0{,}0441.
La probabilité de réaliser k succès en n répétitions est la même quel que soit le chemin choisi.
Coefficients binomiaux
Coefficient binomial
Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n.
Le coefficient binomial, qui se note \binom{n}{k} et qui se lit "k parmi n", correspond, sur l'arbre de probabilités, au nombre de chemins qui amènent à k succès au cours de n épreuves.
Sur l'arbre ci-dessus, il y a deux chemins contenant un seul S pour succès et un chemin contenant deux S.
Comme il y a deux épreuves, on a :
- \binom{2}{1}=2
- \binom{2}{2}=1
Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n.
- \binom{n}{0}=\binom{n}{n}= 1
- \binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}= n
- \binom{n}{2}=\dfrac{n \left(n - 1\right)}{2}
- \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
- Formule de Pascal : si k \lt n, \binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}
\binom{5}{1}=\binom{5}{4}=5
\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}2=10
\binom{16}{7}=\binom{16}{16-7}=\binom{16}{9}
\binom{19}{8}=\binom{18+1}{7+1}=\binom{18}{7}+\binom{18}{8}
La formule de Pascal permet de construire le triangle de Pascal, dont la ligne correspondant à une valeur n donnée recense successivement les valeurs :
\binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{2},...,\binom{n}{n}
| n \backslash k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
La loi binomiale
Définition
Loi binomiale
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
On associe à l'expérience la variable aléatoire X qui compte le nombre total de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
On la note B\left(n;p\right).
Une usine produit des téléphones portables. En général, 5% des téléphones sont défectueux et les autres sont en parfait état.
Si on choisit au hasard un téléphone dans la production, deux issues sont possibles :
- "Le téléphone choisi est en bon état", appelé succès S, de probabilité p=0{,}95
- "Le téléphone choisi est défectueux", appelé échec \overline{S}, de probabilité 1-p=0{,}05
L'expérience aléatoire consistant à choisir un téléphone au hasard dans la production et à vérifier son état est une épreuve de Bernoulli.
On désire maintenant prélever successivement n=10 téléphones dans la production. On considère que le nombre de téléphones produits est très important par rapport au nombre prélevé, et par conséquent les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise. On fait ainsi l'hypothèse que chaque prélèvement est indépendant des autres.
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de téléphones en bon état (le nombre de succès) parmi les 10 téléphones choisis.
La variable X suit la loi binomiale B\left(10;0{,}95\right).
Propriétés de la loi binomiale
Soit un réel p compris entre 0 et 1 et n un entier naturel non nul.
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B\left(n ; p\right), alors :
- X\left(\Omega\right) = [\![0 ; n]\!]
- p\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k} pour tout entier k de X\left(\Omega\right)
Si la variable X suit la loi binomiale B\left(10;0{,}95\right) alors :
- X\left(\Omega\right) =[\![0;10 ]\!]
- p\left(X = k\right) =\binom{10}{k}0{,}95^{k} \left(1 - 0{,}95\right)^{10-k} pour tout k de X\left(\Omega\right)
Espérance d'une loi binomiale
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
E\left(X\right) = np
Considérons la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B\left(10;0{,}95\right).
On a alors :
E\left(X\right)=10\times0{,}95=9{,}5
Variance et écart-type d'une loi binomiale
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
V\left(X\right) = np\left(1 - p\right)
\sigma\left(X\right)=\sqrt {V\left(X\right)}=\sqrt{np\left(1-p\right)}
Considérons la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B\left(10;0{,}95\right).
On a alors :
- V\left(X\right)=10\times0{,}95\times\left(1-0{,}95\right)=0{,}475
- \sigma\left(X\right)=\sqrt{0{,}475}\approx0{,}689
Echantillonnage
Echantillon
Echantillon
Un échantillon de taille n est obtenu en prélevant au hasard, successivement et avec remise, n éléments d'une population.
Prélever des pièces dans une production de manière identique et indépendante, noter à chaque fois si la pièce présente un défaut ou non et la remettre dans la production est une démarche d'échantillonnage.
Souvent, il n'y a pas de remise lors du prélèvement. Mais lorsque l'effectif total est très grand par rapport au nombre d'objets prélevés, on considère néanmoins que l'échantillon est constitué, au sens de la définition donnée, avec remise.
Intervalle de fluctuation
Intervalle de fluctuation
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est \left[ \dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n} \right], où :
- a est le plus petit entier tel que p\left(X\leq a\right)\gt0{,}025
- b est le plus petit entier tel que p\left(X\leq b\right) \geq0{,}975
On s'intéresse à la proportion de faces marquées "1" obtenues quand on lance un dé tétraédrique bien équilibré (dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4).
La variable aléatoire X, égale au nombre de faces marquées "1" obtenues quand on lance 100 fois ce dé, suit une loi binomiale B\left(100; 0{,}25\right). En effet, la probabilité d'avoir une face marquée "1" est \dfrac14.
On détermine une table des valeurs P\left(X\leq k\right) avec la calculatrice. On peut alors trouver les entiers a et b, où a est le plus petit entier tel que P\left(X\leq a\right)\gt0{,}025, et b le plus petit entier tel que P\left(X\leq b\right) \geq0{,}975.
| X | Y1 |
|---|---|
| 16 | 0,02111 |
| 17 | 0,03763 |
| 18 | 0,06301 |
| 31 | 0,93065 |
| 32 | 0,9554 |
| 33 | 0,97241 |
| 34 | 0,98357 |
Puisque p\left(X\leq16\right)\approx0{,}021 et p\left(X\leq17\right)\approx0{,}037, on en déduit que a=17.
De même p\left(X\leq33\right)\approx0{,}972 et p\left(X\leq34\right)\approx0{,}984, donc b=34.
Ainsi :
p\left(17\leq X\leq34\right)\geq0{,}95
Donc un intervalle de fluctuation à 95 % dans les échantillons de taille 100 est \left[ 0{,}17;0{,}34 \right].
On peut choisir d'autres coefficients à la place de 95%. Le plus fréquemment utilisé après 95% est 99%.
Prise de décision sur un échantillon
L'intervalle de fluctuation à 95% est un intervalle qui contient au moins 95% des fréquences observées dans les échantillons de taille n. Ceci signifie qu'il y a un risque de 5% pour cette fréquence de ne pas se trouver dans cet intervalle.
Prise de décision
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est p. Après expérience, on observe f comme fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille n.
Soit l'hypothèse : "La proportion de ce caractère dans la population est p ".
Si I est l'intervalle de fluctuation de la fréquence à 95% dans un échantillon de taille n, alors :
- Si f\notin I : on rejette cette hypothèse au seuil de risque 5%.
- Sinon, on ne rejette pas cette hypothèse au seuil de risque 5%.
Un laboratoire annonce qu'un médicament sauve 40% des patients atteints d'une maladie rare. Pour contrôler cette affirmation, on le teste sur 100 patients atteints de cette maladie.
La fréquence des malades sauvés est de 30%. Que penser de l'affirmation du laboratoire ?
Soit X le nombre de malades sauvés par ce médicament dans un échantillon aléatoire de malades et assimilé à un tirage avec remise de taille 100. Ici X suit une loi binomiale B\left(100;0{,}4\right).
A l'aide de la calculatrice, on trouve alors que l'intervalle de fluctuation à 95%, de la fréquence des patients sauvés, dans les échantillons de taille 100 est \left[ 0{,}31 ; 0{,}50 \right].
La fréquence observée, qui est 0,30, n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation, donc, au seuil de risque 5%, on rejette l'hypothèse selon laquelle ce médicament sauve 40% des malades.