Sur plusieurs années on a vu que 80% des 30 adhérents viennent à l'assemblée générale d'une association sportive.
Il faut la présence d'au moins 50% des adhérents pour prendre une décision.
On cherche à savoir, avec une marge d'erreur de 5%, si le quorum pour prendre une décision sera atteint ou non.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0{,}8.
On donne un extrait d'une feuille de calcul concernant la loi X.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n=30, de la variable aléatoire X ?
D'après l'énoncé, on sait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n=30 et p=0{,}8.
Pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la variable aléatoire X, on détermine d'abord les entiers a et b , où a est le plus petit entier tel que P\left(X≤a\right) \gt 0{,}025, et b le plus petit entier tel que P\left(X≤b\right)≥0{,}975, grâce à la table des valeurs des P\left(X≤k\right) donnée dans l'énoncé.
Puisque p\left(X≤18\right)≈0{,}0094 et p\left(X≤19\right)≈0{,}02561 , on en déduit que a=19.
De même, p\left(X≤27\right)≈0{,}9558 et p\left(X≤28\right)≈0{,}9894 , donc b=28.
On a donc :
p\left(19≤X≤28\right)≥0{,}95
Or, d'après le cours, un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence associée à la variable X est du type : I=\left[\cfrac{a}{n};\cfrac{b}{n}\right].
On obtient donc :
I=\left[\cfrac{19}{30};\cfrac{28}{30}\right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence associée à la variable aléatoire X est donc : I=\left[\cfrac{19}{30};\cfrac{28}{30}\right]\approx\left[0{,}63;0{,}94\right].
À noter que, pour un intervalle de fluctuation, on prend la borne inférieure arrondie par défaut et la borne supérieure arrondie par excès.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la proportion des adhérents présents à l'assemblée générale ?
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la proportion des adhérents présents à l'assemblée générale revient à utiliser la question précédente.
C'est-à-dire :
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n=30, de la variable aléatoire X.
Donc :
Un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la proportion des adhérents présents à l'assemblée générale est : I\approx\left[0{,}63;0{,}94\right].
Quelle conclusion peut-on en tirer ?
On sait qu'il faut la présence d'au moins 50% des adhérents pour prendre une décision.
Or 0{,}5\notin\left[0{,}63;0{,}94\right].
On peut donc dire :
Au seuil de 5%, il y aura largement la moitié des gens présents, puisqu'il y aura au minimum 63% de présence. Le quorum pour prendre une décision sera donc systématiquement atteint.