Afin de déterminer si un échantillon est représentatif d'une population, on calcule l'intervalle I de fluctuation au seuil de 95% ainsi que la fréquence f dans l'échantillon. Si f \in I, alors l'échantillon est représentatif de la population.
Un candidat A à une élection affirme que 52% des électeurs vont voter pour lui. Pour contrôler cette affirmation, on interroge 200 électeurs au hasard. Parmi eux, 88 vont voter pour le candidat A.
Si le candidat A a raison, l'échantillon est-il représentatif de la population ?
Calculer l'intervalle de fluctuation
On justifie que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on détermine les paramètres n et p.
À l'aide de la calculatrice, on détermine ensuite les valeurs a et b, avec a est le plus petit entier tel que p\left(X \leq a\right) \gt 0{,}025 et b le plus petit entier tel que p\left(X \leq b\right) \geq 0{,}975.
On en déduit l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est I=\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right].
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d'électeurs votant pour le candidat A, dans un échantillon aléatoire d'électeurs de taille n=200. On assimile ce tirage à un tirage avec remise. Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0{,}52.
À l'aide de la calculatrice, on détermine que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des électeurs votant pour le candidat A dans un échantillon de taille 200 est : I=\left[ 0{,}45 ; 0{,}59\right].
Calculer la fréquence dans l'échantillon
On calcule la fréquence dans l'échantillon.
Dans l'échantillon, 88 électeurs sur 200 vont voter pour le candidat A. On en déduit que :
f= \dfrac{88}{200} = 0{,}44
Conclure
Deux cas sont possibles :
- Si f \in I, alors l'échantillon est représentatif de la population.
- Si f \notin I, alors l'échantillon n'est pas représentatif de la population.
On a f= 0{,}44 et I=\left[ 0{,}45 ; 0{,}59\right].
Donc f \notin I.
On en conclut que l'échantillon n'est pas représentatif de la population.