Sommaire
1Identifier le caractère et sa fréquence p 2Préciser que les tirages sont effectués avec remise 3Conclure sur la loi binomiale 4Réciter le cours 5Déterminer a et b à l'aide de la calculatrice 6Conclure sur l'intervalle de fluctuationSi la variable aléatoire X suit une loi binomiale, il est possible de déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon n, de X.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de "Pile" obtenus lorsqu'on lance une pièce équilibrée 80 fois de suite.
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du nombre de piles sur 80 lancers.
Identifier le caractère et sa fréquence p
On identifie le caractère donné dans l'énoncé ainsi que sa fréquence.
On s'intéresse à la proportion de "Pile" lors du lancer d'une pièce de monnaie. Sa probabilité est p=\dfrac{1}{2}.
Préciser que les tirages sont effectués avec remise
On justifie que les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.
Les lancers sont indépendants, donc les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.
Conclure sur la loi binomiale
On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précise les paramètres n et p.
Or, X dénombre les "Pile" dans la série de 80 lancers indépendants. On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n =80 et p = 0{,}5.
Réciter le cours
On rappelle que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est :
I=\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]
Avec a et b les plus petits entiers tels que p\left(X\leq a\right)\gt 0{,}025 et p\left(X\leq b\right)\geq 0{,}975.
D'après le cours, l'intervalle de fluctuation au coefficient 95\% de la fréquence est \left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right], avec a et b les plus petits entiers tels que p\left(X\leq a\right)\gt 0{,}025 et p\left(X\leq b\right)\geq 0{,}975.
Déterminer a et b à l'aide de la calculatrice
À l'aide de la calculatrice, on dresse la table des valeurs des p\left(X \leq k\right).
Dans cette table, a est le plus petit entier tel que p\left(X \leq a\right) \gt 0{,}025 et b le plus petit entier tel que p\left(X \leq b\right) \geq 0{,}975.
Il arrive parfois que la table soit donnée en énoncé.
À l'aide de la calculatrice, on détermine que :
- p\left(X \leq 30\right) \approx 0{,}016 et p\left(X \leq 31\right) \approx 0{,}028 donc a = 31
- p\left(X \leq 48\right) \approx 0{,}972 et p\left(X \leq 49\right) \approx 0{,}984 donc b= 49
Conclure sur l'intervalle de fluctuation
On conclut en donnant l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès : \left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right].
On en déduit que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès est donc \left[ \dfrac{31}{80} ; \dfrac{49}{80}\right].