Etudier un problème à l'aide d'une loi binomiale Problème

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de boules blanches tirées.

D'après l'énoncé, on est en présence de huit répétitions d'une même expérience aléatoire, de façon indépendante. Les issues possibles sont : "la boule tirée est blanche" ou "la boule tirée est noire." On est donc en présence d'une épreuve de Bernoulli répétée huit fois de façons identiques et indépendantes.

D'après l'énoncé, la probabilité p qu'à chaque tirage on tire une boule blanche est de \cfrac{3}{10}.

La probabilité q qu'à chaque tirage on tire une boule noire est de \cfrac{7}{10}.

Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont \left\{0{,}1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8\right\}.

D'après ce qui précède, X suit une loi binomiale de paramètre n = 8 et de probabilité p=\cfrac{3}{10}.

D'après le cours, on a pour tout 0 \leqslant k\leqslant8 :

p\left(X=k\right)=\dbinom{8}{k}p^k\left(1-p\right)^{8-k}=\dbinom{8}{k}\times\left(\cfrac{3}{10}\right)^k\times \left(\cfrac{7}{10}\right)^{8-k}

On rappelle quelques formules de cours :

Pour tout entier naturel n non nul : \dbinom{n}{0}=1;\quad\dbinom{n}{1}=n;\quad \dbinom{n}{2}=\cfrac{n\left(n-1\right)}{2}

• On calcule p\left(X=0\right).

D'après ce qui précède, on a donc :

p\left(X=0\right)=\dbinom{8}{0}\times\left(\cfrac{3}{10}\right)^0\times\left(\cfrac{7}{10}\right)^8=\left(\cfrac{7}{10}\right)^8\\ donc :

p\left(X=0\right)\approx 0{,}06

• On calcule p\left(X=1\right).

D'après ce qui précède, on a donc :

p\left(X=1\right)=\dbinom{8}{1}\times\left(\cfrac{3}{10}\right)^1\times\left(\cfrac{7}{10}\right)^7=8\times\left(\cfrac{3}{10}\right)\times\left(\cfrac{7}{10}\right)^7\\ donc :

p\left(X=1\right)\approx 0{,}2

• On calcule p\left(X=2\right).

D'après ce qui précède, on a donc :

p\left(X=2\right)=\dbinom{8}{2}\times\left(\cfrac{3}{10}\right)^2\times\left(\cfrac{7}{10}\right)^{6}=28\times\cfrac{9}{100}\times\left(\cfrac{7}{10}\right)^6\\ donc :

p\left(X=2\right)=\cfrac{252}{100}\times\left(\cfrac{7}{10}\right)^6\\ donc :

p\left(X=2\right)\approx 0{,}3

Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche revient à calculer la probabilité suivante p\left(X\geq1\right).

Or, l'événement contraire d'obtenir au moins une boule blanche : \overline{\left(X\geq1\right)} est l'événement de n'obtenir aucune boule blanche : \left(X=0\right). Donc :

D'après le cours on a :

p\left(\overline{X\geq1}\right)+p\left(X\geq1\right)=1 donc :

p\left(X\geq1\right)=1-p\left(\overline{X\geq1}\right) donc :

p\left(X\geq1\right)=1-p\left(X=0\right) donc :

p\left(X\geq1\right)=1-\left(\cfrac{7}{10}\right)^8

D'après ce qui précède, on a montré que X suit une loi binomiale de paramètre n=8 et de probabilité p=\cfrac{3}{10}.

Or, d'après le cours l'espérance d'une variable aléatoire qui suit, une loi binomiale est donnée par :

E\left(X\right)=np donc ici :

E\left(X\right)=8\times\cfrac{3}{10}=\cfrac{24}{10}=2{,}4

D'après ce qui précède, on a montré que :

E\left(X\right)=2{,}4

Or, d'après le cours l'espérance d'une variable aléatoire correspond à une moyenne des valeurs que peut prendre cette variable.

D'après l'énoncé, à chaque boule blanche tirée on gagne deux euros.

Or d'après la question précédente, on a montré que l'espérance de la variable aléatoire X est égale à 2,4.

On en déduit qu'en moyenne on peut espérer gagner : 2\times 2{,}4

soit en moyenne 4,8 euros lors des huit tirages.