Le principe de proportionnalité
La proportionnalité entre deux grandeurs indique qu'elles évoluent de la même façon. L'utilisation d'un tableau rend souvent l'étude de ces valeurs plus facile.
Grandeur
Une grandeur est une quantité que l'on peut compter ou exprimer avec une unité de mesure.
Les distances, les vitesses ou encore les prix sont des grandeurs.
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un nombre. Elles varient dans les mêmes proportions.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02 €. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire, 3 \times 1{,}02 = 3{,}06\text{ €}. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Coefficient de proportionnalité
Soient deux grandeurs proportionnelles. Le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une des grandeurs pour obtenir l'autre est appelé « coefficient de proportionnalité ».
Dans l'exemple précédent, pour savoir combien coûtent 3 croissants, on multiplie le nombre de croissants, soit 3, par le prix d'un croissant, soit 1,02 €. Le coefficient de proportionnalité est donc 1,02.
Tableau de proportionnalité
Un tableau qui contient des valeurs de grandeurs proportionnelles est appelé « tableau de proportionnalité ».
On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le coefficient de proportionnalité. Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Le tableau de proportionnalité suivant illustre l'exemple précédent :
Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.
La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci.
En effet, un garçon de 17 ans peut mesurer 1,70 m et mesurer 1,75 m à 30 ans.
À 17 ans, en multipliant 17 par 0,1, on obtient la taille en mètres.
À 30 ans, en multipliant par 0,1, on obtient 3, ce qui ne peut être la taille de cette personne à 30 ans.
Les propriétés de la proportionnalité
Les propriétés de linéarité permettent de calculer la valeur d'une grandeur par rapport à la valeur d'une autre. Les grandeurs étant proportionnelles, on peut additionner deux colonnes d'un tableau de proportionnalité, ou bien multiplier une colonne par un nombre pour obtenir une nouvelle valeur. La propriété du passage à l'unité permet d'obtenir la valeur d'une grandeur pour une valeur égale à 1 de l'autre grandeur. Les tableaux de proportionnalité permettent aussi d'étudier les valeurs de deux grandeurs proportionnelles : quand on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut calculer la quatrième à l'aide du coefficient de proportionnalité.
Les propriétés de linéarité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut passer d'une colonne à l'autre en additionnant deux colonnes ou bien en multipliant une colonne par un nombre.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes pour obtenir une nouvelle valeur.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit d'ajouter le prix de 5 croissants à celui de 6 croissants pour obtenir le prix de 11 croissants.
Pour obtenir de nouvelles valeurs, on peut également soustraire deux colonnes.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit de soustraire le prix de 10 croissants à celui de 3 croissants pour obtenir le prix de 7 croissants.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre pour obtenir de nouvelles valeurs.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit de multiplier le prix de 3 croissants par 2 pour obtenir le prix de 6 croissants.
Pour obtenir de nouvelles valeurs, on peut également diviser une colonne par un nombre.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit de diviser le prix de 10 croissants par 2 pour obtenir le prix de 5 croissants.
La propriété du passage à l'unité
Dans une situation de proportionnalité entre deux grandeurs, on peut effectuer ce que l'on appelle le « passage à l'unité », c'est-à-dire calculer une valeur d'une des grandeurs qui correspond à une valeur égale à 1 de l'autre grandeur. On peut écrire une formule établissant le lien entre ces deux grandeurs.
Dans une situation de proportionnalité entre deux grandeurs A et B, on peut d'abord calculer la valeur de B qui correspond à une valeur de A égale à 1 avant de calculer la valeur de B correspondant à une autre valeur de A.
On suppose que le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés.
On sait que le prix de 2 croissants est 2,04 €, on peut donc calculer le prix d'un croissant avant de calculer le prix de 7 croissants.
En divisant par 2 le prix de 2 croissants, on obtient :
2{,}04\div 2=1{,}02
Un croissant coûte donc 1,02 €.
Pour obtenir le prix de 7 croissants, il suffit de multiplier ce prix par 7 :
1{,}02\times 7=7{,}14
Ainsi, 7 croissants coûtent 7,14 €.
Lorsque deux grandeurs A et B sont dépendantes, on connaît parfois le lien permettant d'obtenir les valeurs de la grandeur B à partir de celles de la grandeur A grâce à une formule.
On a, dans ce cas, une formule permettant de définir la fonction donnant les valeurs de la grandeur B à partir de celles de la grandeur A.
C'est le cas lorsque les grandeurs sont proportionnelles.
On reprend l'exemple de prix des croissants en fonction du nombre de croissants achetés.
Les grandeurs étudiées sont ici le prix des croissants achetés et le nombre de croissants achetés.
Si un croissant coûte 1,02 €, alors le prix à payer peut être obtenu par la formule suivante :
\text{Prix }=\text{ Nombre de croissants achetés }\times 1{,}02
Le calcul d'une quatrième valeur
Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité permet de calculer une quatrième valeur quand on en connaît déjà trois.
Dans un tableau de proportionnalité, lorsqu'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du coefficient de proportionnalité.
Pour retrouver la valeur inconnue, on peut diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau.
Ici, le coefficient de proportionnalité est :
2{,}04\div2=1{,}02
Donc :
?=7{,}14\div1{,}02=7
Les applications de la proportionnalité
Les applications de la proportionnalité sont nombreuses : on les retrouve dans les pourcentages, la vitesse et les échelles.
Les pourcentages : l'usage de la proportionnalité pour passer d'une situation réelle à une situation standardisée
Les pourcentages sont des fractions dont le dénominateur est égal à 100. Ils permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée, ou bien de comparer des proportions.
Pourcentage
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
\textcolor{Blue}{6} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}
Les pourcentages permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions.
Dans un groupe de 20 enfants, 5 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :
| Nombre total d'enfants | 20 |
|---|---|
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 5 |
En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves jouant d'un instrument si le groupe était composé de 100 enfants. Pour cela, on calcule le coefficient de proportionnalité :
\dfrac{5}{20}=0{,}25
On obtient la valeur manquante :
100\times0{,}25=25
Et on peut remplir le tableau :
| Situation réelle | Situation standardisée | |
|---|---|---|
| Nombre total d'enfants | 20 | 100 |
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 5 | 25 |
Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprend 25 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est égale à 25 %.
Pour calculer t\text{ \%} d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.
Une chemise coûte 82 €. Étienne obtient une remise de 10 %.
10 \text{ \%} \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2\text{ €}
Il bénéficie donc d'une réduction de 8,2 € sur la chemise.
Prendre 10 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).
10 % de 156 valent :
156\div10=15{,}6
Prendre 25 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).
25 % de 240 valent :
240\div4=60
Prendre 50 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).
50 % de 10,2 valent :
10{,}2\div2=5{,}1
La vitesse : le coefficient de proportionnalité entre une distance parcourue et le temps du parcours
Lors d'un mouvement uniforme, la durée de parcours et la distance parcourue sont proportionnelles. La vitesse est le coefficient de proportionnalité.
Mouvement uniforme
Un mouvement uniforme est un déplacement qui s'effectue toujours à la même vitesse.
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne V d'un déplacement est égale à la distance d parcourue pendant une durée t :
V=\dfrac{d}{t}
- Si d est en kilomètres et t en heures, alors V est en km/h.
- Si d est en mètres et t en secondes, alors V est en m/s.
Un avion a parcouru une distance de 1 800 kilomètres en 2 heures. Sa vitesse moyenne a été de :
V=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\ 800}{2}=900\text{ km/h}
Il faut bien faire attention à écrire la durée de la bonne manière pour pouvoir effectuer des calculs de vitesse ou de distance.
On n'écrit pas 2 h 15 min mais 2,25 h pour pouvoir effectuer des calculs de vitesse ou de distance.
Si l'on se déplace à 60 km/h, cela signifie que l'on parcourt 60 kilomètres en une heure, ou 30 kilomètres en une demi-heure, ou encore 90 kilomètres en une heure et demie.
Vitesse et tableau de proportionnalité
Lors d'un mouvement uniforme, la durée de parcours et la distance parcourue sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse.
Lors d'un mouvement uniforme sur autoroute à une vitesse de 130 km/h, les distances et durées sont proportionnelles.
- On multiplie les durées en heures par V=130 pour obtenir les distances en kilomètres.
- On divise les distances en kilomètres par V=130 pour obtenir les durées en heures.
On obtient par exemple le tableau suivant :
Les échelles : le coefficient de proportionnalité entre une dimension réelle et une dimension sur le plan
Les échelles que l'on trouve sur les cartes, les maquettes, les images de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit, donnent un autre exemple de deux grandeurs proportionnelles : les dimensions sur le plan et les dimensions réelles. L'échelle du plan est le coefficient de proportionnalité permettent de passer d'une valeur à l'autre.
Échelle
Les dimensions sur un plan (ou une carte) sont proportionnelles aux dimensions réelles. L'échelle d'un plan (ou d'une carte) est le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir les dimensions sur le plan à partir des dimensions réelles.
L'échelle est souvent donnée sous forme fractionnaire. Dans ce cas, on a :
\text{Échelle}=\dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}}
Si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2 500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2 500 cm en réalité.
Une échelle peut s'écrire \dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}} ou \text{Dimensions sur le plan} : \text{Dimensions réelles}.
On peut écrire \dfrac{1}{2\ 500} ou 1 : 2\ 500.