Les nombres positifs, les nombres négatifs et les nombres relatifs
Il existe des nombres inférieurs à 0. On parle alors de « nombres négatifs », tandis que les nombres supérieurs à 0 sont appelés « nombres positifs ».
Les nombres positifs
Un nombre positif est supérieur ou égal à 0.
Nombre positif
Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à 0. Il est précédé d'un signe + ou écrit sans signe.
Les nombres 2 et 5,14 sont des nombres positifs.
Les nombres négatifs
Un nombre négatif est inférieur ou égal à 0.
Nombre négatif
Un nombre négatif est un nombre inférieur à 0. Il est précédé d'un signe –.
Le nombre \left(-a\right) est défini comme le résultat de la soustraction 0-a.
(-6) est un nombre négatif. Il est plus petit que 0. Il est le résultat de la soustraction 0 - 6.
Les nombres relatifs et leur placement sur une droite graduée
La réunion des nombres positifs et négatifs forme la catégorie de nombres suivante : les nombres relatifs. Sur une droite graduée, on les repère grâce à un nombre relatif appelé « abscisse du point ».
Les caractéristiques des nombres relatifs
Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il peut être précédé d'un signe positif ou négatif.
Nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre positif ou un nombre négatif.
- (-6) est un nombre négatif. C'est un nombre relatif.
- (+21,7) est un nombre positif. C'est un nombre relatif.
Tout entier naturel et tout nombre décimal est un nombre relatif.
- 56 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+56).
- 1,78 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+1,78).
Pour désigner un nombre relatif, on l'entoure de parenthèses et on le précède de son signe.
En général, les nombres positifs s'écrivent sans signe + et sans parenthèses.
Les nombres négatifs sont également sans parenthèses lorsqu'on désigne un nombre seul.
- (+21,7) est un nombre positif qui peut s'écrire 21,7.
- (-5) est un nombre relatif qui peut s'écrire -5.
0 est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif.
Le placement des nombres relatifs sur une droite
Pour repérer un point, on le place sur une droite graduée. Les nombres positifs sont généralement à droite de l'origine de cette droite, les nombres négatifs sont généralement à gauche.
Droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on choisit un point, appelé « origine de la droite graduée », un sens (de la gauche vers la droite en général) et une unité de longueur que l'on reporte à partir de l'origine, de part et d'autre de celle-ci.
Chaque graduation correspond à un nombre.
L'origine correspond au nombre 0.
Les nombres positifs sont (en général) à droite de l'origine.
Les nombres négatifs sont (en général) à gauche de l'origine.
Abscisse d'un point
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé « abscisse du point ».
La notion d'opposé
Lorsque deux nombres diffèrent seulement par leur signe, on obtient des nombres à la même distance de 0 sur une droite graduée.
Opposé d'un nombre
Si l'on place un nombre sur un axe gradué, l'opposé de ce nombre est celui qui est à la même distance de l'origine de l'autre côté de l'origine. On note -a l'opposé du nombre a.
Le nombre (-3) est l'opposé du nombre 3.
L'addition et la soustraction de nombres relatifs
L'utilisation de nombres relatifs permet d'effectuer une addition ou une soustraction entre des nombres quels qu'ils soient. Il existe des règles spécifiques à ces calculs : on peut effectuer des calculs avec uniquement des nombres positifs, uniquement des nombres négatifs, ou bien des nombres positifs et négatifs mélangés.
L'addition de nombres relatifs
Additionner deux nombres positifs revient à effectuer la somme déjà connue de ces nombres. Additionner deux nombres négatifs revient effectuer la somme de leurs opposés et de précéder le résultat d'un signe négatif. Additionner deux nombres de signes différents revient à calculer la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.
La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces nombres.
5+2=7
La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe –.
\left(-9\right) + \left(-12\right) = - \left(9 + 12\right) = - \left(21\right) = \left(-21\right) = -21
La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.
7 + \left(-15\right) = - \left(15 - 7\right) = - \left(8\right) = \left(-8\right) = -8
La somme de deux nombres opposés est égale à 0.
\left(-4\right) + \left(+4\right) = 0
La soustraction de nombres relatifs
Soustraire un nombre revient à additionner son opposé. Lorsqu'on effectue des calculs avec des additions et des soustractions, on peut retirer les signes : on remplace deux signes opposés par un signe négatif et deux mêmes signes par un signe positif.
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.
- 45 - 12 = 45 + \left(-12\right)=33
- 15-(-4) = 15+(+4)=15+4=19
Dans une séquence d'additions et de soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en respectant la règle suivante :
- Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un +.
- Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un –.
\left(+11\right) - \left(-16\right) + \left(-4\right) = 11 + 16 - 4 = 27 - 4 = 23
Pour calculer une séquence d'additions et de soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire.
22 - 19 + 4 + 18 - 5 = \underbrace{22 + 4 + 18}_{44} \underbrace{- 19 - 5}_{-24} = 44 + \left(-24\right) = 44 - 24 = 20
Comparer, ranger, encadrer
Lorsqu'on utilise des nombres, on a souvent besoin de les comparer pour connaître le plus grand ou le plus petit et les ranger. Parfois, on a besoin d'en avoir un ordre de grandeur. Dans ce cas, savoir encadrer un nombre par deux autres nombres « plus simples » peut être utile.
Comparer des nombres relatifs
Comparer deux nombres relatifs revient à voir lequel est le plus grand, et inversement. Trois cas se présentent : la comparaison de deux nombres positifs, la comparaison de deux nombres négatifs, et la comparaison d'un nombre positif et d'un nombre négatif.
Lorsqu'on compare deux nombres relatifs, trois cas se présentent.
Les deux nombres sont positifs
Si les deux nombres sont positifs, on peut utiliser la règle usuelle pour les comparer.
Les deux nombres sont négatifs
On considère deux nombres négatifs -a et -b.
- Si a\lt b, alors -a\gt -b.
- Si a\gt b, alors -a\lt -b.
Un des deux nombres est positif et l'autre est négatif
Le nombre négatif est toujours inférieur au nombre positif.
- On cherche à comparer 2 et 5. Ces deux nombres sont positifs, donc 2\lt 5.
- On cherche à comparer -2,3 et -5,7. Ces deux nombres sont négatifs.
On sait que 2{,}3\lt 5{,}7, donc -2{,}3\gt -5{,}7. - On cherche à comparer 20 et -5,3. 20 est positif et -5,3 est négatif, donc -5{,}3\lt 20.
Ranger des nombres relatifs
Ranger des nombres relatifs revient à les classer par ordre croissant, soit du plus petit au plus grand, ou décroissant, soit du plus grand au plus petit.
Ordre croissant et ordre décroissant
- Ranger des nombres relatifs dans l'ordre croissant consiste à les écrire du plus petit au plus grand.
- Ranger des nombres relatifs dans l'ordre décroissant, consiste à les écrire du plus grand au plus petit.
On souhaite ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant :
5 ; 6,7 ; -3,4 ; 3,4 ; 0 ; -1
On obtient :
-3{,}4\lt-1\lt0\lt3{,}4\lt5\lt6{,}7
À l'inverse, dans l'ordre décroissant on obtient :
6{,}7\gt5\gt3{,}4\gt0\gt-1\gt-3{,}4
Encadrer un nombre relatif
Encadrer un nombre relatif revient à déterminer deux nombres : un inférieur au nombre relatif de départ, et un supérieur.
Encadrer un nombre relatif
Encadrer un nombre relatif a par deux autres nombres relatifs, c'est déterminer deux nombres b et c tels que b\lt a\lt c.
On peut encadrer le nombre -3,1 de la manière suivante :
-4\lt-3{,}1\lt-3