Les puissances d'exposant positif
Quand on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, on peut noter le résultat sous la forme d'une puissance. Ces puissances possèdent des propriétés particulières.
Définition d'une puissance
Soit un nombre a. Si on le multiplie n fois par lui-même, on peut écrire le résultat sous la forme a^n.
Puissance
Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 1. On désigne par a^{n} la puissance n du nombre a, telle que :
a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}
- L'entier n est appelé l'« exposant ».
- a^{n} se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
- a^{n} est appelé « puissance n-ième de a ».
2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
Les propriétés des puissances de base quelconque
Soit un nombre x=a^n, il existe des propriétés particulières quand a ou n est égal à 0 ou 1.
Soit a un nombre non nul :
a^{0} = 1
13^0=1
Pour tout entier n :
1^n=1
Pour tout entier non nul n :
0^n=0
L'inverse d'un nombre
Quand on multiplie un nombre par son inverse, le résultat est égal à 1. L'inverse d'un nombre a est \dfrac{1}{a} et l'inverse de la fraction \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}. Par ailleurs, diviser par un nombre b, c'est multiplier par son inverse, soit \dfrac{1}{b}.
Définition de l'inverse d'un nombre
L'inverse de a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.
Inverse d'un nombre
Soit a un nombre non nul.
L'inverse de a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.
100 \times 0{,}01 = 1
Ainsi, l'inverse de 100 est 0,01.
Les inverses d'un nombre non nul et d'une fraction
Soient a et b deux nombres non nuls, l'inverse de a est le quotient 1\div a et l'inverse de \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}.
Soit a un nombre non nul.
L'inverse de a est le quotient 1\div a.
-
L'inverse de -2 est \dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5.
-
5\times 0{,}2=1, donc l'inverse de 5 est 0,2.
- 1\div 5=0{,}2, l'inverse de 5 est donc bien 1\div 5.
Il ne faut pas confondre inverse et opposé.
L'inverse d'un nombre non nul a est en général différent de son opposé.
L'inverse de 5 est 0,2, mais l'opposé de 5 est -5.
Soient a et b deux nombres non nuls. L'inverse de \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}.
- L'inverse de \dfrac{17}{31} est \dfrac{31}{17}.
- L'inverse de \dfrac{-7}{6} est \dfrac{-6}{7}.
- L'inverse de \dfrac{1}{12} est \dfrac{12}{1}=12.
La multiplication d'un nombre par son inverse
Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.
Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.
Soient a et b deux nombres non nuls, alors :
Diviser par a, c'est multiplier par \dfrac{1}{a}.
125\div25=125\times\dfrac{1}{25}=125\times0{,}04=5
Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.
Soient a et b deux nombres non nuls, alors :
Diviser par \dfrac{1}{a}, c'est multiplier par a.
12\div\dfrac14=12\times4=48
Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse. Soient a et b deux nombres non nuls, alors :
Diviser par \dfrac{a}{b}, c'est multiplier par \dfrac{b}{a}.
18\div\dfrac{9}{2}=18\times \dfrac29=\dfrac{36}{9}=4
Les puissances d'exposant négatif
La notation des puissances avec un exposant négatif permet d'avoir une écriture de l'inverse d'une puissance avec un exposant positif.
Définition d'une puissance d'exposant négatif
Soit a un nombre non nul et n un entier positif, calculer a^{-n} revient à effectuer la division de 1 par a^n.
Puissance ^{-n}
Soient un entier positif n et a un nombre non nul.
On définit a^{-n} par :
a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}
5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}
Les puissances d'exposant négatif et l'inverse d'un nombre
Soit a un nombre non nul et n un entier positif, a^{-n} est l'inverse de a^n.
Soit a un nombre non nul.
L'inverse de a est égal à a^{-1}.
L'inverse de -3 est (-3)^{-1}, soit \dfrac{1}{(-3)^1}, c'est-à-dire \dfrac{1}{-3}.
Soient un entier positif n et a un nombre non nul.
a^{-n} est l'inverse de a^n.
10^{-2} est égal à \dfrac{1}{10^2}, c'est donc l'inverse de 10^2.
Les formules algébriques sur les puissances
Les définitions de a^n et a^{-n} avec n entier positif donnent directement des formules algébriques sur les puissances.
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. On a :
a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}
3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. On a :
\left(a^{n}\right)^{p} = a^{n\times p}
\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. On a :
\dfrac{a^{n}}{a^{p}}= a^{n-p}
\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier relatif. On a :
\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}
\left(2\times5\right)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier relatif. On a :
(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}
La racine carrée et les carrés parfaits
Les carrés des premiers entiers naturels sont appelés « carrés parfaits ». Le nombre positif dont le carré est a est appelé « racine carrée de a ». Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
Les carrés parfaits
Un carré parfait est le carré d'un autre entier naturel.
Carré parfait
On appelle « carré parfait » tout nombre égal au carré d'un entier.
Le tableau suivant présente les premiers carrés parfaits, c'est-à-dire les premiers carrés d'entiers naturels :
La racine carrée d'un carré parfait est donc un entier.
La racine carrée
Soit un nombre a, on appelle « racine carrée de a » le nombre positif dont le carré est a. Un nombre négatif peut être élevé au carré, mais il n'admet pas de racine carrée.
Définition d'une racine carrée
La racine carrée d'un nombre a est le nombre positif dont le carré est a.
Racine carrée
Soit a un nombre positif.
On appelle « racine carrée de a » le nombre positif dont le carré est a.
On le note \sqrt{a}.
On a :
\sqrt{a}>0\text{ et }\left(\sqrt{a}\right)^2=a
- \sqrt{15}>0 et \left(\sqrt{15}\right)^2=15 ;
- \sqrt{16}>0 et \left(\sqrt{16}\right)^2=16 ;
- or 4>0 et 4^2=16, donc \sqrt{16}=4.
Pour les racines carrées qu'on n'obtient pas directement à partir des tables de multiplication, on utilise la calculatrice et la touche \sqrt{\hspace{1em}}.
On obtient alors une valeur approchée du résultat dans la plupart des cas.
Les racines carrées d'un nombre positif et d'un nombre négatif
Soit a un nombre positif, \sqrt{a^2}=a ; soit a un nombre négatif, \sqrt{a^2}=-a. Soit a un nombre positif, (\sqrt{a})^2=a ; soit a un nombre négatif, \left(\sqrt{a}\right)^2 n'existe pas car \sqrt{a} n'existe pas.
Soit a un nombre positif. On a :
\sqrt{a^{2}} = a
\left(\sqrt{a}\right)^2 = a
\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}= 4
Soit a un nombre négatif. On a :
\sqrt{a^{2}} = - a
\left(\sqrt{a}\right)^2 n'existe pas car \sqrt{a} n'existe pas.
On calcule :
\sqrt{\left(- 5\right)^{2}}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}= 5
Avec :
5=-\left(-5\right)