Calculer la probabilité d'un événement avec une loi continue Exercice

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq \dfrac{5}{2}\right)=\int_{\frac{4}{3}}^{\frac{5}{2}} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Comme \dfrac{5}{2} \gt2 et 0\leqslant\dfrac{4}{3}\leqslant2, on a :

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq \dfrac{5}{2}\right)=\int_{\frac{4}{3}}^{2} \dfrac{x}{2}\ \mathrm dx + \int_{2}^{\frac{5}{2}} 0\ \mathrm dx

Une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x}{2} étant x\longmapsto \dfrac{x^2}{4}, on obtient finalement :

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq \dfrac{5}{2}\right)=\left[ \dfrac{x^2}{4} \right]_{\frac{4}{3}}^{2}

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq \dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{2^2}{4}- \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}{4}

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq \dfrac{5}{2}\right)= 1- \dfrac{\dfrac{16}{9}}{4}

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq\dfrac{5}{2}\right)=1-\dfrac{4}{9}

p\left( \dfrac{4}{3}\leq X \leq\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}

On peut donc conclure :

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( \dfrac{1}{4}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right)=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Comme \dfrac{1}{4} et \dfrac{1}{2} sont tous les deux compris entre 0 et 1 :

p\left( \dfrac{1}{4}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right)=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} 3x^2 \ \mathrm dx

Une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto 3x^2 étant x\longmapsto x^3, on obtient :

p\left( \dfrac{1}{4}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right)=\left[ x^3 \right]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}

p\left( \dfrac{1}{4}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-\left(\dfrac{1}{4}\right)^3

p\left( \dfrac{1}{4}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{64}

p\left( \dfrac{1}{4}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{8}{64}-\dfrac{1}{64}

On peut finalement conclure :

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( 3\leq X \leq7\right)=\int_{3}^{7} f\left(x\right) \ \mathrm dx

3 et 7 étant tous deux positifs :

p\left( 3\leq X \leq7\right)=\int_{3}^{7} 2e^{-2x} \ \mathrm dx

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto 2e^{-2x} est x\longmapsto -e^{-2x}.

Ainsi, on obtient :

p\left( 3\leq X \leq7\right)=\left[ -e^{-2x} \right]_{3}^{7}

p\left( 3\leq X \leq7\right)=-e^{-2\times 7} - \left(-e^{-2\times 3}\right)

p\left( 3\leq X \leq7\right)=-e^{-14} +e^{-6}

p\left( 3\leq X \leq7\right)=e^{-6} -e^{-14}

On peut conclure :

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( 0\leq X \leq 50\right)=\int_{0}^{50} f\left(x\right) \ \mathrm dx

0 et 50 étant tous deux positifs :

p\left( 0\leq X \leq 50\right)=\int_{0}^{50} 3e^{-3x} \ \mathrm dx

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto 3e^{-3x} est x\longmapsto -e^{-3x}.

Ainsi, on obtient :

p\left( 0\leq X \leq 50\right)=\left[ -e^{-3x} \right]_{0}^{50}

p\left( 0\leq X \leq 50\right)= -e^{-3\times 50}- \left(-e^{-3\times 0}\right)

p\left( 0\leq X \leq 50\right)= -e^{-150} +e^{0}

p\left( 0\leq X \leq 50\right)=1 -e^{-150}

On peut conclure :

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( 1\leq X \leq 4\right)=\int_{1}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Or 4 \gt 3 et 1 est bien entre 0 et 3 donc :

p\left( 1\leq X \leq 4\right)=\int_{1}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{3}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx

La fonction f étant nulle sur l'intervalle \left] 3{,}4 \right] :

p\left( 1\leq X \leq 4\right)=\int_{1}^{3} \dfrac{x^2}{9} \ \mathrm dx

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x^2}{9} est x\longmapsto \dfrac{x^3}{27}.

Ainsi, on obtient :

p\left( 1\leq X \leq 4\right)=\left[ \dfrac{x^3}{27} \right]_{1}^{3}

p\left( 1\leq X \leq 4\right)=\dfrac{3^3}{27} -\dfrac{1^3}{27}

p\left( 1\leq X \leq 4\right)=\dfrac{27}{27} -\dfrac{1}{27}

On peut conclure :

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( 2\leq X \leq 3\right)=\int_{2}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx

2 et 3 étant tous deux supérieurs à 1 :

p\left( 2\leq X \leq 3\right)=\int_{2}^{3} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx

Or, une primitive sur \mathbb{R^{+*}} de x\longmapsto \dfrac{1}{x^2} est x\longmapsto -\dfrac{1}{x}.

Ainsi, on obtient :

p\left( 2\leq X \leq 3\right)=\left[- \dfrac{1}{x} \right]_{2}^{3}

p\left( 2\leq X \leq 3\right)=-\dfrac{1}{3} -\left(-\dfrac{1}{2}\right)

p\left( 2\leq X \leq 3\right)=-\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{2}

p\left( 2\leq X \leq 3\right)=-\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}

On peut conclure :

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :

p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Ici, on a donc :

p\left( 2\leq X \leq 4\right)=\int_{2}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Or 4 \gt e et 2\lt e donc :

p\left( 2\leq X \leq 4\right)=\int_{2}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{e}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx

p\left( 2\leq X \leq 4\right)=\int_{2}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx+\int_{e}^{4} 0 \ \mathrm dx

Or, une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x} sur \mathbb{R}^{+*} est x\longmapsto \ln x.

Ainsi, on obtient :

p\left( 2\leq X \leq 4\right)=\left[ln x\right]_{2}^{e}

p\left( 2\leq X \leq 4\right)=\ln e- \ln 2

p\left( 2\leq X \leq 4\right)=1- \ln 2

On peut alors conclure :