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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Dans le calcul d'une probabilité, lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale, on peut se rapporter au calcul d'une loi normale centrée réduite.
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi normale N\left(50;9\right). Exprimer p\left(46 \leq X \leq 58\right) en fonction d'une probabilité de la loi normale centrée réduite.
Identifier m et \sigma
On donne les paramètres de la loi normale que suit X.
Si X suit la loi N\left(m; \sigma ^2\right), alors E\left(X\right) = m et \sigma \left(X\right) = \sigma.
X suit la loi normale N\left(50;9\right).
On a donc :
m = 50 et \sigma = \sqrt 9 = 3
Réciter le cours
On rappelle que si X suit une loi normale N\left(m; \sigma^2\right), alors la variable Z = \dfrac{X-m}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
X suit la loi normale N\left(50;9\right) donc Z = \dfrac{X-m }{\sigma} = \dfrac{X-50}{3} suit la loi normale centrée réduite.
Faire apparaître la loi normale centrée réduite
Si on cherche par exemple à calculer p\left(a \leq X \leq b\right), on écrit que :
p\left(a \leq X \leq b\right)= p \left(\dfrac{a-m}{\sigma} \leq \dfrac{X-m}{\sigma} \leq \dfrac{b-m}{\sigma}\right)
On obtient :
p\left(a \leq X \leq b\right) =p \left(\dfrac{a-m}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-m}{\sigma}\right), avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.
Donc :
p\left(46 \leq X \leq 58\right)= p \left(\dfrac{46-50}{3} \leq \dfrac{X-50}{3} \leq \dfrac{58-50}{3}\right)
p\left(46 \leq X \leq 58\right)= p \left(-\dfrac{4}{3} \leq Z\leq \dfrac{8}{3}\right)
Avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.