Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[ -1;5 \right].
Quelle proposition correspond à une densité de X ?
X suit la loi uniforme sur \left[ -1;5 \right].
Une densité de X est donc f avec :
\forall x\in\left[ -1;5 \right],f\left(x\right)=\dfrac{1}{5-\left(-1\right)}=\dfrac{1}{6}
\forall x\in\left[ -1;5 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{6}
Quelles sont les valeurs de p\left( X\leqslant2 \right) et p\left(1\leqslant X\leqslant4 \right) ?
f est définie sur \left[ -1;5 \right] donc :
p\left( X\leqslant2 \right)=\int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{-1}^{2} \dfrac{1}{6} \ \mathrm dx
Or une primitive de x \longmapsto \dfrac{1}{6} sur \left[ -1;5 \right] est x \longmapsto \dfrac{x}{6}, donc :
p\left( X\leqslant2 \right)=\left[ \dfrac{x}{6}\right]_{-1}^{2}
p\left( X\leqslant2 \right)= \dfrac{2}{6} - \dfrac{\left(-1\right)}{6}
p\left( X\leqslant2 \right)= \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{2}
De même, on calcule :
p\left(1\leqslant X\leqslant4 \right)=\int_{1}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x}{6}\right]_{1}^{4}=\dfrac{4}{6} - \dfrac{\left(1\right)}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
p\left( X\leqslant2 \right)=p\left(1\leqslant X\leqslant4 \right)= \dfrac{1}{2}
Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant3 \right) ?
p\left( X\geqslant3 \right)=\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
p\left( X\geqslant3\right)=\left[ \dfrac{x}{6}\right]_{3}^{5}
p\left( X\geqslant3 \right)= \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6}
p\left( X\geqslant3 \right)= \dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{3}
p\left( X\geqslant3 \right)=\dfrac{1}{3}
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
Si X suit la loi uniforme sur \left[ a;b \right], alors E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}
Ici, X suit la loi uniforme sur \left[ -1;5 \right], on a donc :
E\left(X\right)=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2
E\left(X\right)=2