Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;2 \right] par:
f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 0;2 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{0}^{2}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on a :
E\left(X\right)=\int_{0}^{2} \dfrac{x^2}{2} \mathrm dx
Or, une primitive de x\longmapsto \dfrac{x^2}{2} sur \mathbb{R} est x\longmapsto \dfrac{x^3}{6}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^3}{6} \right]_{0}^{2}
E\left(X\right)= \dfrac{2^3}{6}- \dfrac{0^3}{6}
E\left(X\right)= \dfrac{8}{6}-0
On peut conclure :
E\left(X\right)= \dfrac{4}{3}
Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 3;5 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 3;5 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{3}^{5}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{3}^{5}x \left(\dfrac{1}{2}\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{3}^{5}\dfrac{x}{2}\ \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x}{2} est x\longmapsto \dfrac{x^2}{4}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^2}{4}\right]_{3}^{5}
E\left(X\right)=\dfrac{5^2}{4}- \dfrac{3^2}{4}
E\left(X\right)=\dfrac{25}{4}- \dfrac{9}{4}
E\left(X\right)=\dfrac{16}{4}
On peut alors conclure :
E\left(X\right)=4
Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 4;7\right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 4;7 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{4}^{7}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{4}^{7}x \left(\dfrac{1}{3}\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{4}^{7}\dfrac{x}{3}\ \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x}{3} est x\longmapsto \dfrac{x^2}{6}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^2}{6}\right]_{4}^{7}
E\left(X\right)=\dfrac{7^2}{6}- \dfrac{4^2}{6}
E\left(X\right)=\dfrac{49}{6}- \dfrac{16}{6}
On peut conclure :
E\left(X\right)=\dfrac{33}{6}=\dfrac{11}{2}
Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;12\right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{12}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 0;12 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{0}^{12}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{0}^{12}x \left(\dfrac{1}{12}\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{12}\dfrac{x}{12}\ \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x}{12} est x\longmapsto \dfrac{x^2}{24}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^2}{24}\right]_{0}^{12}
E\left(X\right)=\dfrac{12^2}{24}- \dfrac{0^2}{24}
E\left(X\right)=\dfrac{144}{24}
On peut conclure :
E\left(X\right)=6
Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 2;8\right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{6}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 2;8 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{2}^{8}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{2}^{8}x \left(\dfrac{1}{6}\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{2}^{8}\dfrac{x}{6}\ \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x}{6} est x\longmapsto \dfrac{x^2}{12}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^2}{12}\right]_{2}^{8}
E\left(X\right)=\dfrac{8^2}{12}- \dfrac{2^2}{12}
E\left(X\right)=\dfrac{64}{12}- \dfrac{4}{12}
E\left(X\right)=\dfrac{60}{12}
On peut donc conclure :
E\left(X\right)=5
Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;2 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{4}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 0;2 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{0}^{2}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{0}^{2} x\left(\dfrac{x^3}{4}\right) \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{2} \dfrac{x^4}{4} \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{x^4}{4} est x\longmapsto \dfrac{x^5}{20}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^5}{20} \right]_{0}^{2}
E\left(X\right)= \dfrac{2^5}{20}- \dfrac{0^5}{20}
E\left(X\right)= \dfrac{32}{20}-0
On peut donc conclure :
E\left(X\right)=\dfrac{8}{5}
Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;1\right] par :
f\left(x\right)=3x^2
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 0;1 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{0}^{1}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} x\left(3x^2\right) \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{1}3x^3 \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto 3x^3 est x\longmapsto \dfrac{3x^4}{4}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{3x^4}{4} \right]_{0}^{1}
E\left(X\right)= \dfrac{3\times 1^4}{4}- \dfrac{3\times 0^4}{4}
E\left(X\right)= \dfrac{3}{4}-0
On peut conclure :
E\left(X\right)= \dfrac{3}{4}