Soient X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(4;5^2\right) et Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( 3\leq X\leq8 \right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(4;5^2\right). Ainsi, on sait que \dfrac{X-4}{5} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel a et b tels que a\leqslant b :
p\left(a \leqslant \dfrac{X-4}{5} \leqslant b\right)=p\left(a \leqslant Z \leqslant b\right)
Or, on a :
p\left( 3\leq X\leq8 \right)=p\left( 3-4\leq X-4\leq8-4 \right)
p\left( 3\leq X\leq8 \right)=p\left( \dfrac{3-4}{5}\leq \dfrac{X-4}{5}\leq\dfrac{8-4}{5} \right)
p\left( 3\leq X\leq8 \right)=p\left( -\dfrac{1}{5}\leq \dfrac{X-4}{5}\leq\dfrac{4}{5} \right)
On peut donc conclure :
p\left( 3\leq X\leq8 \right)=p\left(- \dfrac{1}{5}\leq Z\leq\dfrac{4}{5} \right)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(5;2^2\right). Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( 1\leq X\leq6 \right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(5;2^2\right).
Ainsi, on sait que \dfrac{X-5}{2} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel b et c tels que b\leqslant c :
p\left(b \leqslant \dfrac{X-5}{2} \leqslant c\right)=p\left(b \leqslant Z \leqslant c\right)
Or, on a :
p\left( 1\leq X\leq 6 \right)=p\left( 1-5 \leq X-5\leq6-5 \right)
p\left( 1\leq X\leq6 \right)=p\left( \dfrac{1-5}{2}\leq \dfrac{X-5}{2}\leq\dfrac{6-5}{2} \right)
p\left( 1\leq X\leq6 \right)=p\left(-2\leq \dfrac{X-5}{2}\leq\dfrac{1}{2} \right)
On peut donc conclure :
p\left( 1\leq X\leq6 \right)=p\left(- 2\leq Z\leq\dfrac{1}{2} \right)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(6;3^2\right). Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( X\leq4 \right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(6;3^2\right).
Ainsi, on sait que \dfrac{X-6}{3} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel c :
p\left(\dfrac{X-6}{3} \leqslant c\right)=p\left(Z \leqslant c\right)
Or, on a :
p\left( X\leq 4 \right)=p\left( X-6\leq4-6 \right)
p\left( X\leq4 \right)=p\left(\dfrac{X-6}{3}\leq\dfrac{4-6}{3} \right)
p\left( X\leq4 \right)=p\left( \dfrac{X-6}{3}\leq -\dfrac{2}{3} \right)
On peut donc conclure :
p\left( X\leq4 \right)=p\left( Z\leq -\dfrac{2}{3} \right)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(100;125^2\right). Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( X\leq150 \right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(100;125^2\right).
Ainsi, on sait que \dfrac{X-100}{125} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel c :
p\left(\dfrac{X-100}{125} \leqslant c\right)=p\left(Z \leqslant c\right)
Or, on a :
p\left( X\leq 150 \right)=p\left( X-100\leq 150-100 \right)
p\left( X\leq 150 \right)=p\left( \dfrac{X-100}{125}\leq\dfrac{150-100}{125} \right)
p\left( X\leq 150 \right)=p\left( \dfrac{X-100}{125}\leq\dfrac{50}{125} \right)
On peut donc conclure :
p\left( X\leq150 \right)=p\left( Z\leq \dfrac{2}{5} \right)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(8; 3^2\right). Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( X\leq12 \right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(8; 3^2\right).
Ainsi, on sait que \dfrac{X-8}{3} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel c :
p\left(\dfrac{X-8}{3} \leqslant c\right)=p\left(Z \leqslant c\right)
Or, on a :
p\left( X\leq 12 \right)=p\left( X-8\leq 12-8 \right)
p\left( X\leq 12\right)=p\left( \dfrac{X-12}{3}\leq\dfrac{12-8}{3} \right)
p\left( X\leq 12\right)=p\left( \dfrac{X-12}{3}\leq\dfrac{4}{3} \right)
On peut donc conclure :
p\left( X\leq12 \right)=p\left( Z\leq \dfrac{4}{3} \right)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(2;7^2\right). Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( X\geq 1\right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(2;7^2\right).
Ainsi, on sait que \dfrac{X-2}{7} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel c :
p\left(\dfrac{X-2}{7}\geqslant c\right)=p\left(Z\geqslant c\right)
Or, on a :
p\left( X\geq 1 \right)=p\left( X-2\geq 1-2 \right)
p\left( X\geq1 \right)=p\left( \dfrac{X-2}{7}\geq\dfrac{1-2}{7} \right)
p\left( X\geq1 \right)=p\left( \dfrac{X-2}{7}\geq-\dfrac{1}{7} \right)
On peut donc conclure :
p\left( X\geq1 \right)=p\left( Z\geq -\dfrac{1}{7} \right)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(13;11^2\right). Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Quelle est l'expression de p\left( X\geq 21\right) sous la forme d'une probabilité impliquant uniquement la variable Z ?
X suit la loi normale N\left(13;11^2\right).
Ainsi, on sait que \dfrac{X-13}{11} suit la loi normale centrée réduite.
Comme Z suit également la loi normale centrée réduite, on a, pour tout réel c :
p\left(\dfrac{X-13}{11}\geqslant c\right)=p\left(Z\geqslant c\right)
Or, on a :
p\left( X\geq 21 \right)=p\left( X-13\geq 21-13\right)
p\left( X\geq 21 \right)=p\left( \dfrac{X-13}{11}\geq\dfrac{21-13}{11} \right)
p\left( X\geq 21 \right)=p\left( \dfrac{X-13}{11}\geq\dfrac{8}{11} \right)
On peut conclure :
p\left( X\geq 21 \right)=p\left( Z\geq \dfrac{8}{11} \right)