Sommaire
1Rappeler les conditions 2Justifier que f est continue 3Justifier que f est positive 4Calculer l'intégrale 5Conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=\left[ a;b \right] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \int_a^bf\left(x\right) dx= 1.
Montrer que la fonction f, définie sur \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right) = 2x est une densité de probabilité.
Rappeler les conditions
On rappelle que la fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=\left[ a;b \right] si et seulement si :
- f est continue sur I
- f est positive ou nulle sur I
- \int_a^bf\left(x\right) dx= 1
La fonction f est une densité de probabilité sur \left[ 0;1 \right] si et seulement si :
- f est continue sur \left[ 0;1 \right]
- f est positive ou nulle sur \left[ 0;1 \right]
- \int_0^1f\left(x\right) dx= 1
Justifier que f est continue
On justifie que la fonction f est continue sur l'intervalle I = \left[ a;b \right] sur lequel elle est définie.
La fonction f est continue sur \left[ 0;1 \right] en tant que restriction d'une fonction affine sur \left[ 0;1 \right].
Justifier que f est positive
On démontre que, \forall x \in I, f\left(x\right) \geq 0.
\forall x \in \left[ 0;1 \right], 2x \geq 0.
Donc la fonction f est positive ou nulle sur \left[ 0;1 \right].
Calculer l'intégrale
On calcule \int_a^bf\left(x\right) dx.
On vérifie que cette intégrale vaut 1.
Si I = \left[ 0;+\infty \right[, on ne sait pas calculer \int_0^{+\infty}f\left(t\right) dt, on calcule donc \int_0^{x}f\left(t\right) dt et on montre que \lim\limits_{x \to +\infty }\int_0^{x}f\left(t\right) dt = 1.
\int_0^1f\left(x\right) dx= \int_0^12x dx
Ainsi :
\int_0^1f\left(x\right) dx= \left[ x^2 \right]_0^1
\int_0^1f\left(x\right) dx=1^2-0^2
\int_0^1f\left(x\right) dx=1
Conclure
Si la fonction f vérifie bien ces trois conditions, f est donc une densité de probabilité sur I = \left[ a;b \right].
Les trois conditions sont bien vérifiées. La fonction f est donc une densité de probabilité sur \left[ 0;1\right].