On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P: x+2y-z+3=0
Q: -x+y+3z+6=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:x+2y-z+3=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Q: -x+y+3z+6=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} x+2y-z+3=0 \cr \cr -x+y+3z+6=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} x+2y-z+3=0 \cr \cr 3y+2z+9=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} x+2y-z+3=0 \cr \cr 3y+2z+9=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x+2y+3=t \cr \cr 3y+9=-2t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=t+\dfrac{4}{3}t+6-3 \cr \cr y=-\dfrac{2}{3}t -3 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=\dfrac{7}{3}t+3\cr \cr y=-\dfrac{2}{3}t -3 \cr \cr z=t\end{cases}, \ t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{7}{3}t+3\cr \cr y=-\dfrac{2}{3}t -3 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}