On considère les plans P et Q d'équations cartésiennes :
P:-x+y+3z-1=0
Q:-2x-y-z+2=0
Quelle proposition démontre correctement que les plans P et Q sont sécants ?
P et Q sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
P:-x+y+3z-1=0 donc un vecteur normal de P est : \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
Q:-2x-y-z+2=0 donc un vecteur normal de Q est : \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -1 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les plans P et Q sont sécants.
Quelle est l'intersection des plans P et Q ?
Les plans P et Q sont sécants, leur intersection est donc une droite.
Pour la déterminer, on pose le système :
\begin{cases} -x+y+3z-1=0 \cr \cr -2x-y-z+2=0 \end{cases}
On multiplie la première ligne par -2 :
\begin{cases} 2x-2y-6z+2=0 \cr \cr -2x-y-z+2=0 \end{cases}
On additionne les deux lignes :
\begin{cases} 2x-2y-6z+2=0 \cr \cr -3y-7z+4=0 \end{cases}
On pose z=t
\begin{cases} 2x-2y-6z+2=0 \cr \cr -3y-7z+4=0 \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2x-2y+2=6t \cr \cr -3y+4=7t \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2x=6t+2y-2 \cr \cr y=-\dfrac{7t}{3}+\dfrac{4}{3} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} 2x=6t-\dfrac{14t}{3}+\dfrac{8}{3}-2 \cr \cr y=-\dfrac{7t}{3}+\dfrac{4}{3} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=\dfrac{2t}{3}+\dfrac{1}{3} \cr \cr y=-\dfrac{7t}{3}+\dfrac{4}{3} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
L'intersection des plans P et Q est la droite \Delta de représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{2t}{3}+\dfrac{1}{3} \cr \cr y=-\dfrac{7t}{3}+\dfrac{4}{3} \cr \cr z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}