Soient les fonctions f et g d'expressions f(x) = \dfrac{1}{x}, x \neq 0 et g(x) = x^2 .
Sur quel intervalle la courbe représentative de f est-elle au-dessus de celle de g ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}^* et g est définie sur \mathbb{R} .
La courbe de f est au-dessus de celle de g sur un intervalle si :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} \geq x^2 pour tout réel x de cet intervalle.
Sur \mathbb{R}_+^{\star} , on peut multiplier par x sans changer le signe :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow 1 \geq x^3
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x \leq 1
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x \in ]0;1]
Sur \mathbb{R}_-^{\star} , on peut multiplier par x et changer le signe :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow 1 \leq x^3
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x \geq 1
Ce qui est impossible car x \leq 0 .
On déduit que la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur :
La courbe représentative de f est donc au-dessus de celle de g sur l'intervalle \left] 0;1 \right] .
Soient les fonctions f et g d'expressions f(x) = x et g(x) = \sqrt{x}, x \geq 0 .
Sur quel intervalle la courbe représentative de f est-elle au-dessus de celle de g ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R} et g est définie sur \mathbb{R}_+ .
La courbe de f est au-dessus de celle de g sur un intervalle si :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x \geq \sqrt{x} pour tout x de cet intervalle.
Sur \mathbb{R}_+ , la fonction x \mapsto x^2 est croissante, on peut donc l'appliquer à l'inégalité :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x^2 \geq x
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x^2 - x \geq 0
On peut factoriser par le terme de plus petit degré :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x(x-1) \geq 0
Cette inégalité est du signe de x-1 car x \geq 0 sur \mathbb{R}_+ :
x -1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1
On déduit que la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur :
La courbe représentative de f est donc au-dessus de celle de g sur l'intervalle \left[1;+\infty \right[ .
Soient les fonctions f et g d'expressions f(x) = \dfrac{1}{x}, x \neq 0 et g(x) = \sqrt{x} .
Sur quel intervalle la courbe représentative de f est-elle au-dessus de celle de g ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}^* et g est définie sur \mathbb{R}_+ .
La courbe de f est au-dessus de celle de g sur un intervalle si :
f(x) \geq g(x) pour tout réel x de cet intervalle.
Soit x\in\mathbb{R}_+^{\star} :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} \geq \sqrt{x}
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow 1 \geq x \sqrt{x}
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow x \leq 1
On déduit que la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur :
La courbe représentative de f est donc au-dessus de celle de g sur l'intervalle \left] 0; 1 \right] .
Soient les fonctions f et g d'expressions f(x) = \sqrt{x} et g(x) = x^2 .
Sur quel intervalle la courbe représentative de f est-elle au-dessus de celle de g ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}_+ .
La courbe de f est au-dessus de celle de g sur un intervalle si
f(x) \geq g(x) pour tout réel x de cet intervalle.
Soit x\in\mathbb{R}_+ :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq x^2
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow \sqrt{x}(1 - x \sqrt{x} ) \geq 0
Or sur \mathbb{R}_+ , \sqrt{x} \geq 0 .
Donc \sqrt{x}(1 - x \sqrt{x} ) est du signe de 1 - x \sqrt{x} .
Or, 1 - x \sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow x\sqrt{x} \leq 1 .
Comme la fonction carré est croissante sur [0;+\infty[, on en déduit :
1 - x \sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow x^3 \leq 1
1 - x \sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1
On déduit que la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur :
La courbe représentative de f est donc au-dessus de celle de g sur l'intervalle \left[ 0; 1 \right] .
Soient les fonctions f et g d'expressions f(x) = \sqrt{-x} et g(x) = 2x .
Sur quel intervalle la courbe représentative de f est-elle au-dessus de celle de g ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}_- .
La courbe de f est au-dessus de celle de g sur un intervalle si :
f(x) \geq g(x) pour tout réel x de cet intervalle.
Soit x\in\mathbb{R}_- :
f(x) \geq g(x) \Leftrightarrow \sqrt{-x} \geq 2x
Sur \mathbb{R}_- , \sqrt{-x} \geq 0 et 2x \leq 0 .
Donc l'inégalité est toujours vraie.
On déduit que la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur :
La courbe représentative de f est donc au-dessus de celle de g sur l'intervalle \mathbb{R}_- .