Les fonctions définies sur un intervalle ou une réunion finie d'intervalles de \mathbb{R}
Lorsqu'il s'agit de fonctions, elles peuvent être définies sur un intervalle, souvent leur intervalle de définition qui peut être \mathbb{R} , ou sur une réunion d'intervalles si la fonction n'est pas définie pour certaines valeurs.
Les fonctions définies sur un intervalle
Les fonctions réelles sont définies sur un intervalle de \mathbb{R} . On parle alors du domaine de définition d'une fonction.
Domaine de définition
Une fonction réelle peut être définie sur un intervalle de \mathbb{R}. On dit alors que cet intervalle de \mathbb{R} est le domaine de définition de f .
On a :
f : x \mapsto 3x - 2 \quad \text{Pour } x \in ]-3;2]
Le domaine de définition de f est ]-3; 2[. Pour cette fonction, on ne peut pas calculer f(4) car 4 \not \in ]-3;2].
Les fonctions définies sur une réunion d'intervalles
Il se peut qu'une fonction n'ait pas d'images pour certaines valeurs de \mathbb{R} . On parle alors d'une fonction définie sur une réunion d'intervalles.
Réunion d'intervalles
Une fonction réelle peut être définie sur une réunion d'intervalles de \mathbb{R}. Il faut pour cela :
- que les intervalles soient disjoints ;
- ou bien que la définition soit la même sur la réunion de deux intervalles quelconques.
Soit f la fonction définie par :
f(x) = \left\{\begin{array}{rl} x^2 \quad &\text{ Pour } x \in [0, 1]\\ x^3 \quad &\text{ Pour } x \in ]1; 5[ \end{array}\right.
La fonction est bien définie, car les intervalles [0, 1]et ]1; 5[ sont disjoints.
On pose la fonction f suivante :
f(x) = \left\{\begin{array}{rl} -3 x +2 \quad & \text{ Pour } x \in [0, 1]\\ 8x -2 \quad &\text{ Pour } x \in \left]\dfrac{1}{2}; 5\right[ \end{array}\right.
Cette fonction est mal définie, car les intervalles [0;1] et ]\dfrac{1}{2}; 5[ ne sont pas disjoints. En effet :
\left]\dfrac{1}{2}; 5\right[ \cap [0;1] = \left] \dfrac{1}{2}; 1\right]
De plus, les deux définitions sur cette intersection ne coïncident pas. Selon la première définition, f(1) = -3\times 1 + 2 = -1 alors que la seconde donne f(1) = 8\times 1 - 2 = 6.
La fonction suivante est bien définie :
f(x) = \left\{\begin{array}{rl} 1 & x \in [0;1]\\ 2 & x \in ]1;2] \end{array}\right.
La fonction suivante est mal définie :
f(x) = \left\{\begin{array}{rl} 1 & x \in [0;1]\\ 2 & x \in [1;2] \end{array}\right.
La représentation graphique des fonctions
On peut tracer la courbe représentative d'une fonction définie sur \mathbb{R} à valeurs dans \mathbb{R} , dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Cette représentation est souvent utile pour déterminer des propriétés de symétrie. On parle alors de fonctions paires et de fonctions impaires.
La courbe représentative d'une fonction
La courbe représentative d'une fonction permet de tracer dans le plan l'ensemble des points (x ; f(x)) dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath} \right) .
Courbe représentative d'une fonction
Dans un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) du plan, la courbe représentative d'une fonction f définie sur \mathbb{R} à valeurs réelles est définie comme l'ensemble des points M qui ont pour coordonnées (x;y) telles que :
y = f(x)
Un point A(x; y) du plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) est sur la courbe représentative d'une fonction f si et seulement si y = f(x).
Le point A(2; 6) est sur la courbe représentative de la fonction f : x \mapsto x^x+2, puisque f(2) = 2^2 + 2 = 6.
Les fonctions paires et les fonctions impaires
Les fonctions paires sont des fonctions dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe (O; \overrightarrow{\jmath}) . Les fonctions impaires sont des fonctions dont la courbe est symétrique par rapport au point O.
Les fonctions paires
Les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe (O; \overrightarrow{\jmath}) . Les réels x et -x ont la même image f(x) .
Fonction paire
Soit f une fonction réelle. Une fonction est dite paire si et seulement si pour tout nombre x appartenant au domaine de définition de f, on a :
f(-x) = f(x)
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative dans le plan est symétrique selon l'axe des ordonnées.
La fonction carrée f : x \mapsto x^2 est une fonction paire, puisque pour tout x \in \mathbb{R} :
f(-x) = (-x)^2 = ((-1)*(x))^2 = 1\times x^2 = x^2 = f(x)
Les fonctions impaires
Les fonctions impaires sont symétriques par rapport au point O . Les réels x et -x ont une image opposée.
Fonction impaire
Soit f une fonction réelle. Une fonction est dite impaire si et seulement si pour tout nombre x appartenant au domaine de définition de f, on a :
f(-x) = -f(x)
La fonction cube f : x \mapsto x^3 est une fonction impaire, puisque pour tout x \in \mathbb{R} :
f(-x) = (-x)^3 = ((-1)\times(x))^3 = (-1)^3\times x^3 =-1 \times x^3 = -f(x)
Si 0 fait partie du domaine de définition de la fonction f et que f est impaire, alors f(0) = 0. En effet, f(0) = f(-0) = -f(0), d'où 2f(0) = 0, et donc f(0) = 0.
La résolution graphique d'inéquation du type f(x) < g(x)
Pour résoudre une inéquation du type f(x) < g(x), on compare les positions relatives des courbes représentatives de f et g.
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et leurs courbes représentatives. Soit x un nombre réel de l'intervalle I. Alors f(x) <g(x) si et seulement si, pour cette abscisse x, la courbe représentative de f est située strictement sous la courbe représentative de g.
On trace en vert la courbe représentative d'une fonction f(x) et en bleu la courbe représentative d'une fonction g(x) . On souhaite savoir sur quel intervalle f \geq g .
La courbe verte est au-dessus de la courbe bleue sur l'intervalle [-2 ; 8] . Ainsi, f(x) \geq g(x), \forall x \in [-2 ; 8] .
