Lors d'une kermesse d'école, une annonce indique que un billet sur quatre est gagnant. Un parent d'élèves en achète 50 et en obtient 10 gagnants.
Quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des billets qui devraient être gagnant sur un tel échantillon ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des billets qui devraient être gagnants dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion annoncée des billets gagnants
Or, ici, on a :
- n=50 car on considère un échantillon de 50 billets.
- p=0{,}25 car l'énoncé précise qu'il y a un quart des billets qui sont gagnants.
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}25-\dfrac{1}{\sqrt{50}};0{,}25+\dfrac{1}{\sqrt{50}} \right]
f\in\left[ 0{,}109;0{,}391\right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des billets qui devraient être gagnants dans un échantillon de taille 50 est \left[ 0{,}109;0{,}391\right].
Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Ici, sur 50 billets, il y a 10 billets gagnants. Calculons la fréquence des billets gagnants :
\dfrac{10}{50}=0{,}2
Or :
0{,}2\in\left[ 0{,}109;0{,}391\right]
On ne remet donc pas en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.