Dans une population d'enfants de 5 à 8 ans, on admet que 25% des enfants ont des allergies. Une étude est faite à partir d'un échantillon de 100 enfants et on dénombre 22 enfants allergiques.
Pierre joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie qu'il pense équilibrée. Il lance 35 fois sa pièce et obtient 12 "face". Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des enfants allergiques dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des enfants allergiques.
Or, ici, on a :
- n=100 car on considère un échantillon de 100 enfants
- p=0{,}25 car l'énoncé précise qu'il y a 25% d'enfants allergiques
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}25-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0{,}25+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des enfants allergiques dans un échantillon de taille 100 est \left[ 0{,}15;0{,}35\right].
Ici, sur 100 enfants, il y a 22 enfants allergiques. Calculons la fréquence des enfants allergiques :
\dfrac{22}{100}=0{,}22
Or 0{,}22\in\left[ 0{,}15;0{,}35\right]
On ne remet donc pas en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.
Quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des enfants allergiques sur un tel échantillon ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des enfants allergiques dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des enfants allergiques.
Or, ici, on a :
- n=100 car on considère un échantillon de 100 enfants
- p=0{,}25 car l'énoncé précise qu'il y a 25% d'enfants allergiques
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}25-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0{,}25+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]
f\in\left[ 0{,}15;0{,}35 \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des enfants allergiques dans un échantillon de taille 100 est \left[ 0{,}15;0{,}35\right].
Dans une population d'enfants de 5 à 8 ans, on admet que 25% des enfants ont des allergies. Une étude est faite à partir d'un échantillon de 100 enfants et on dénombre 22 enfants allergiques. Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des enfants allergiques dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des enfants allergiques.
Or, ici, on a :
- n=100 car on considère un échantillon de 100 enfants
- p=0{,}25 car l'énoncé précise qu'il y a 25% d'enfants allergiques
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}25-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0{,}25+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des enfants allergiques dans un échantillon de taille 100 est \left[ 0{,}15;0{,}35\right].
Ici, sur 100 enfants, il y a 22 enfants allergiques. Calculons la fréquence des enfants allergiques :
\dfrac{22}{100}=0{,}22
Or 0{,}22\in\left[ 0{,}15;0{,}35\right]
On ne remet donc pas en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.