On considère la situation représentée sur le schéma proposé.
Quelle est la hauteur de la tour ?
On calcule d'abord la longueur SB.
Dans le triangle SBA rectangle en B :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{SAB} ;
- on connaît AB, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{SAB} ;
- on cherche SB, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{SAB}.
On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{SAB})=\dfrac{SB}{AB}
\text{tan}(25)=\dfrac{SB}{45}
On en déduit :
SB= 45 \times \text{tan}(25)
SB\approx 21\text{ m}
Par ailleurs, la hauteur de la tour est égale à :
SB+1{,}50
Par conséquent, la hauteur de la tour est environ égale à :
21+1{,}50=22{,}50\text{ m}
La hauteur de la tour est d'environ 22,50 m.
Un cycliste roule sur une route supposée rectiligne. Au départ, l'altitude est de 850 m. À l'arrivée, l'altitude est de 1 250 m. La longueur horizontale parcourue est de 17 km.
Quelle est la mesure de l'angle formé par la route avec l'horizontale ?
On peut faire un schéma. Dans ce schéma :
- le point D représente le départ ;
- le point A représente l'arrivée ;
- le triangle DAH est rectangle en H ;
- DH = 17 \text{ km} = 17\ 000 \text{ m}.
On va d'abord calculer le dénivelé, c'est-à-dire la longueur AH :
AH=1\ 250-850=400\text{ m}
On peut maintenant calculer la mesure de l'angle demandé :
Dans le triangle DAH rectangle en H :
- on cherche la mesure de l'angle \widehat{ADH} ;
- on connaît DH, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{ADH} ;
- on connaît AH, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{ADH}.
On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{ADH})=\dfrac{AH}{DH}
\text{tan}(\widehat{ADH})=\dfrac{400}{17\ 000}
On utilise alors la touche \text{tan}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{ADH}\approx 1{,}3°
L'angle formé par la route avec l'horizontale est d'environ 1,3 °.
On considère la situation représentée dans le schéma proposé. Les informations nécessaires sont données sur ce schéma.
Quelle est la hauteur de la tour Eiffel, sans tenir compte de l'antenne à son sommet ?
On peut faire un schéma. Dans ce schéma :
- le point B représente le sommet de la tour Eiffel sans tenir compte de l'antenne ;
- le point S est le point du sol se trouvant sur la même verticale que le point B ;
- le triangle BSP est rectangle en S.
Dans le triangle BSP rectangle en S :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{SPB} ;
- on connaît SP, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{SPB} ;
- on cherche SB, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{SPB}.
On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{SPB})=\dfrac{SB}{SP}
\text{tan}(40)=\dfrac{SB}{370}
On en déduit :
SB=370 \times \text{tan}(40)
SB\approx310\text{ m}
La hauteur de la tour Eiffel, sans tenir compte de l'antenne à son sommet, est d'environ 310 m.
Quelle est la hauteur de la tour Eiffel, en prenant en compte l'antenne à son sommet ?
On peut faire un schéma. Dans ce schéma :
- le point A représente le sommet de la tour Eiffel en prenant en compte l'antenne ;
- le point S est le point du sol se trouvant sur la même verticale que le point A ;
- le triangle ASP est rectangle en S.
On commence par calculer la mesure de l'angle \widehat{SPA} :
\widehat{SPA}=40+1{,}2=41{,}2°
Dans le triangle ASP rectangle en S :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{SPA} ;
- on connaît SP, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{SPA} ;
- on cherche SA, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{SPA}.
On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{SPA})=\dfrac{SA}{SP}
\text{tan}(41{,}2)=\dfrac{SA}{370}
On en déduit :
SA=370 \times \text{tan}(41{,}2)
SB\approx324\text{ m}
La hauteur de la tour Eiffel, en prenant en compte l'antenne à son sommet, est d'environ 324 m.
On considère la figure proposée.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{HAC} ?
Dans le triangle CAH rectangle en H :
- on cherche la mesure de l'angle \widehat{HAC} ;
- on connaît AH, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{HAC} ;
- on connaît CH, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{HAC}.
On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{HAC})=\dfrac{CH}{AH}
\text{tan}(\widehat{HAC})=\dfrac{0{,}80}{2{,}80}
On utilise alors la touche \text{tan}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{HAC}\approx 16°
L'angle \widehat{HAC} mesure environ 16°.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{HAB} ?
On calcule d'abord la longueur BH :
BH=0{,}80\ +1{,}5=2{,}30\text{ m}
Dans le triangle BAH rectangle en H :
- on cherche la mesure de l'angle \widehat{HAB} ;
- on connaît AH, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{HAB} ;
- on connaît BH, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{HAB}.
On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{HAB})=\dfrac{BH}{AH}
\text{tan}(\widehat{HAB})=\dfrac{2{,}30}{2{,}80}
On utilise alors la touche \text{tan}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{HAB}\approx 39°
L'angle \widehat{HAB} mesure environ 39°.