Pour jouer aux billes, Lila a construit un plan incliné dont on propose le schéma.
Le segment [BH] est la pente du haut de laquelle elle lâche sa bille. L'angle formé entre cette pente et l'horizontale est de 30°. La longueur HP est égale à 8,5 cm.
Quelle est la longueur de cette pente ?
Dans le triangle HBP rectangle en P :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{HBP} ;
- on connaît HP, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{HBP} ;
- on cherche BH, la longueur de l'hypoténuse.
On peut utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{HBP})=\dfrac{HP}{BH}
\text{sin}(30)=\dfrac{8{,}5}{BH}
On en déduit :
BH=\dfrac{8{,}5}{\text{sin}(30)}
BH=17\text{ cm}
La longueur de la pente est de 17 cm.
Emma skie sur une pente faisant un angle de 12° avec l'horizontale.
La longueur de la piste est de 2 000 m. Au départ, Emma se trouve à 1 800 m d'altitude.
À quelle altitude se trouve l'arrivée ?
On peut faire un schéma. Dans ce schéma :
- le point A représente l'arrivée ;
- le point D représente le départ ;
- le point H représente le point qui est à la verticale du point D, à la même altitude que le point A ;
- DA = 2\ 000 \text{ m} ;
- \widehat{DAH}=12°.
Dans le triangle ADH rectangle en H :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{DAH} ;
- on connaît DA, la longueur de l'hypoténuse ;
- on cherche DH, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{DAH}.
On peut utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{DAH})=\dfrac{DH}{DA}
\text{sin}(12)=\dfrac{DA}{2\ 000}
On en déduit :
DA=2\ 000 \times \text{sin}(12)
DA\approx416\text{ m}
On sait que l'altitude du point de départ est de 1 800 m.
Par conséquent, l'altitude du point d'arrivée est environ égale à :
1\ 800 - 416= 1\ 384\text{ m}
L'altitude de l'arrivée est d'environ 1 384 m.
Sur une route rectiligne, une voiture va d'un point A à un point C.
La distance AC est de 10 km ; le dénivelé, c'est-à-dire la différence d'altitude entre le point A et le point C, est de 16 m.
Quelle est la mesure de l'angle que la route forme avec l'horizontale ?
On sait que :
- AB = 16 \text{ m} ;
- AC = 10 \text{ km} = 10\ 000 \text{ m}.
Dans le triangle ABC rectangle en B :
- on cherche la mesure de l'angle \widehat{ACB} ;
- on connaît AC, la longueur de l'hypoténuse ;
- on connaît AB, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{ACB}.
On peut utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{AC}
\text{sin}(\widehat{ACB})=\dfrac{16}{10\ 000}
On utilise alors la touche \text{sin}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{ACB}\approx0{,}09
La mesure de l'angle que la route forme avec l'horizontale est d'environ 0,09°.
Dans un centre commercial, on souhaite construire un trottoir roulant pour faciliter l'accès au centre commercial depuis le parking.
On doit tenir compte des informations indiquées sur le schéma proposé.
Quelle sera la longueur du trottoir roulant ?
Dans le triangle PCH rectangle en H :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{CPH} ;
- on connaît CH, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{CPH}) ;
- on cherche CP, la longueur de l'hypoténuse.
On peut utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{CPH})=\dfrac{CH}{CP}
\text{sin}(4)=\dfrac{6}{CP}
On en déduit :
CP=\dfrac{6}{\text{sin}(4)}
CP\approx86\text{ m}
La longueur du trottoir roulant sera d'environ 86 m.
Tom fait voler son cerf-volant. La ficelle est tendue ; elle a une longueur de 35 m. Le cerf-volant est à 25 m du sol.
Combien mesure l'angle \widehat{STC} ?
On sait que :
- TC = 35\text{ m} ;
- CS = 25\text{ m}.
Dans le triangle STC rectangle en S :
- on cherche la mesure de l'angle \widehat{STC} ;
- on connaît TC, la longueur de l'hypoténuse ;
- on connaît SC, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{STC}.
On peut utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{STC})=\dfrac{SC}{TC}
\text{sin}(\widehat{STC})=\dfrac{25}{35}
On utilise alors la touche \text{sin}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{STC}\approx46°
L'angle \widehat{STC} mesure environ 46°.