Résoudre un problème de géométrie à l'aide d'une combinaison de cosinus, sinus et tangente Problème

Dans le triangle ABC rectangle en A :

• on connaît la mesure de l'angle \widehat{ABC} ;
• on connaît BC, la longueur de l'hypoténuse ;
• on cherche AC, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{ABC}.

On peut donc utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{ABC})=\dfrac{CA}{CB}
\text{sin}(15)=\dfrac{CA}{1\ 932}

On en déduit :
CA=1\ 932 \times \text{sin}(15)
CA \approx 500\text{ m}

On commence par calculer la longueur BD.

Dans le triangle HBD rectangle en H :

• on connaît la mesure de l'angle \widehat{HBD} ;

• on connaît BH, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{HBD}.

• on cherche BD, la longueur de l'hypoténuse.

On peut donc utiliser le cosinus :
\text{cos}(\widehat{HBD})=\dfrac{BH}{BD}
\text{cos}(15)=\dfrac{400}{BD}

On en déduit :

\text{BD}=\dfrac{400}{\text{cos}(15)}
BD \approx 414\text{ m}

On peut maintenant calculer CD, la distance parcourue par le skieur :
CD=CB-BD
CD=1\ 932-414=1\ 518

Dans le triangle POI rectangle en P :

• on cherche la mesure de l'angle \widehat{POI} ;
• on connaît IP, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{POI} ;
• on connaît PO, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{POI}.

On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{POI})=\dfrac{IP}{PO}
\text{tan}(\widehat{POI})=\dfrac{46{,}5}{100}

On utilise alors la touche \text{tan}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{POI}\approx24{,}9\text{°}

On commence par calculer la mesure de l'angle \widehat{POS} :
\widehat{POS}=\widehat{POI}+\widehat{IOS}
\widehat{POS}\approx24{,}9+18=42{,}9°

Puis on calcule la longueur PS.

Dans le triangle POS rectangle en P :

• on connaît la mesure de l'angle \widehat{POS} ;
• on connaît PO, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{POS} ;
• on cherche PS, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{POS}.

On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{POS})=\dfrac{PS}{PO}
\text{tan}(42{,}9)=\dfrac{PS}{100}

On en déduit :
PS=100\times \text{tan}(42{,}9)
PS\approx 92{,}9\text{ m}

Et on obtient finalement la hauteur SI de la statue :
SI=SP-IP
SI\approx92{,}9-46{,}5=46{,}4\text{ m}

On calcule d'abord la longueur RF :
RF=FS-RS
RF=18-1{,}5=16{,}5\text{ m}

On peut ensuite calculer la mesure de l'angle \widehat{FPR}.

Dans le triangle RFP rectangle en R :

• on cherche la mesure de l'angle \widehat{FPR} ;
• on connaît RF, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{FPR} ;
• on connaît RP, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{FPR}.

On peut utiliser la tangente :
\text{tan}(\widehat{FPR})=\dfrac{RF}{RP}
\text{tan}(\widehat{FPR})=\dfrac{16{,}5}{10}

On utilise alors la touche \text{tan}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{FPR}\approx58{,}8°

On peut utiliser au choix le cosinus ou le sinus.

Méthode avec le cosinus

Dans le triangle RFP rectangle en R :

• on connaît la mesure de l'angle \widehat{FPR} ;
• on connaît RP, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{FPR} ;
• on cherche FP, la longueur de l'hypoténuse.

On peut utiliser le cosinus :
\text{cos}(\widehat{FPR})=\dfrac{RP}{FP}
\text{cos}(58{,}8)=\dfrac{10}{FP}

On en déduit :
FP=\dfrac{10}{\text{cos}(58{,}8)}
FP\approx 19{,}3\text{ m}

Méthode avec le sinus

Dans le triangle RFP rectangle en R :

• on connaît la mesure de l'angle \widehat{FPR} ;
• on connaît RF, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{FPR} ;
• on cherche FP, la longueur de l'hypoténuse.

On peut utiliser le sinus :
\text{sin}(\widehat{FPR})=\dfrac{RF}{FP}
\text{sin}(58{,}8)=\dfrac{16{,}5}{FP}

On en déduit :
FP=\dfrac{16{,}5}{\text{sin}(58{,}8)}
FP\approx 19{,}3\text{ m}