Limite d'une fonction en l'infini
Limite finie
Limite finie en l'infini
- Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers + \infty si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les réels x supérieurs à x_{0}, f\left(x\right) appartient à cet intervalle.
- Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers - \infty si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les réels x inférieurs à x_{0}, f\left(x\right) appartient à cet intervalle.
On note :
- \lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = L ou \lim\limits_{+\infty } f = L
- \lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = L ou \lim\limits_{-\infty } f = L
\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{1}{x} = 0
\lim\limits_{x \to -\infty }\left( \dfrac{1}{x - 1} + 2 \right) = 2
Limite infinie
Limite infinie d'une fonction en l'infini
- Une fonction f tend vers + \infty quand x tend vers + \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x supérieurs à x_{0}, f\left(x\right) \gt A .
- Une fonction f tend vers - \infty quand x tend vers + \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x supérieurs à x_{0}, f\left(x\right) \lt A.
- Une fonction f tend vers + \infty quand x tend vers - \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x inférieurs à x_{0}, f\left(x\right) \gt A.
- Une fonction f tend vers - \infty quand x tend vers - \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x inférieurs à x_{0}, f\left(x\right) \lt A.
On note :
- \lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = + \infty ou \lim\limits_{+\infty } f = + \infty
- \lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = - \infty ou \lim\limits_{+\infty } f = - \infty
- \lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = + \infty ou \lim\limits_{-\infty } f = + \infty
- \lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = - \infty ou \lim\limits_{-\infty } f = - \infty
\lim\limits_{x \to +\infty } \left( x + 5 \right) = + \infty
\lim\limits_{x \to -\infty } x^3 = - \infty
Limite d'une fonction en un réel a
Limite finie
Limite finie en un réel a
Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers le réel a si, pour tout intervalle ouvert J centré en L, il existe un intervalle ouvert I centré en a tel que, pour tous les réels x appartenant à I, f\left(x\right) appartient à J.
\lim\limits_{x \to 0} \left( x+9 \right) = 9
\lim\limits_{x \to 1} \left( x^2 - 1 \right) = 0
Si la fonction f est continue en a, alors \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right)=f\left(a\right).
Limite infinie
Limite infinie en un réel a
- Une fonction f tend vers + \infty quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A, il existe un intervalle I centré en a tel que, pour tout réel x appartenant à I, f\left(x\right) \gt A.
- Une fonction f tend vers - \infty quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A, il existe un intervalle I centré en a tel que, pour tout réel x appartenant à I, f\left(x\right) \lt A.
On note :
- \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = + \infty ou \lim\limits_{a} f = + \infty
- \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = - \infty ou \lim\limits_{a} f = - \infty
Limite à gauche et à droite
Limite à gauche et limite à droite
On peut étudier la limite d'une fonction en un réel a :
- Par valeurs inférieures à ce réel (on parle de limite à gauche en a )
- Par valeurs supérieures à ce réel (on parle de limite à droite en a )
On note :
- \lim\limits_{x \to a^{-}} ou \lim\limits_{x \to a \atop x\lt a} pour la limite à gauche en a
- \lim\limits_{x \to a^{+}} ou \lim\limits_{x \to a \atop x\gt a} pour la limite à droite en a
On a :
\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty
Alors que :
\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty
La fonction f admet une limite en a si et seulement si elle admet une limite à gauche en a et une limite à droite en a et que ces deux limites sont égales.
On a :
\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty
Alors que :
\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty
Ces deux limites n'étant pas égales, la fonction inverse n'admet pas de limite en 0.
Les règles d'opérations
Les limites des fonctions usuelles
Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, sinus et cosinus admettent une limite finie en tout réel a de leur ensemble de définition, qui est égale à leur valeur en a.
Les règles d'opérations sur les limites pour les fonctions sont les mêmes que les règles pour les suites pour l'addition, le produit et le quotient.
Soit n\in\mathbb{N}^{\star}.
- \lim\limits_{x \to +\infty}x^n=+\infty
- \lim\limits_{x \to -\infty}x^n=+\infty si n est pair et \lim\limits_{x \to -\infty}x^n=-\infty si n est impair
- \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}=0^+ et \lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x}=0^-
- \lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty et \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty
\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty
La limite d'une somme
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels. Les fonctions f, g et f + g sont définies au voisinage de \alpha .
| Limite de f en \alpha | L | L | L | + \infty | - \infty | + \infty |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en \alpha | L' | + \infty | - \infty | + \infty | - \infty | - \infty |
| Limite de f + g en \alpha | L + L' | + \infty | - \infty | + \infty | - \infty | ? |
Le symbole "?" représente une forme indéterminée.
La limite d'un produit
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et f \times g sont définies au voisinage de \alpha .
| Limite de f en \alpha | L | L \gt 0 | L \lt 0 | L \gt 0 | L \lt 0 | + \infty | - \infty | + \infty | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en \alpha | L' | + \infty | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty | - \infty | - \infty | \pm \infty |
| Limite de f \times g en \alpha | L \times L' | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty | + \infty | + \infty | - \infty | ? |
Le symbole "?" représente une forme indéterminée.
La limite d'un quotient
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et \dfrac{f}{g} sont définies au voisinage de \alpha .
| Limite de f en \alpha | L | L | + \infty | + \infty | - \infty | - \infty | 0 | \pm \infty | L \gt 0 ou + \infty | L \lt 0 ou - \infty | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en \alpha | L' \neq 0 | \pm \infty | L' \gt 0 | L' \lt 0 | L' \gt 0 | L' \lt 0 | 0 | \pm \infty | 0^{+} | 0^{-} | 0^{+} | 0^{-} |
| Limite de \dfrac{f}{g} en \alpha | \dfrac{L}{L'} | 0 | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty | ? | ? | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty |
Le symbole "?" représente une forme indéterminée.
Les formes indéterminées
Il existe 4 formes indéterminées :
" +\infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 "
Les formes indéterminées, sont les configurations pour lesquelles les règles opératoires sur les limites ne permettent pas de conclure. Il faut alors modifier l'expression pour en déterminer la limite.
La limite d'une fonction composée
Soient \alpha , \beta et \gamma trois réels ou + \infty ou - \infty .
Fonction composée
Soit f une fonction définie sur une partie J de \mathbb{R}, et g une fonction définie sur une partie I de \mathbb{R} à valeurs dans J.
La fonction f\circ g (se lit "f rond g") est la fonction définie sur I par f\circ g\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right].
Soient f et g, deux fonctions définies sur \mathbb{R}, par f\left(x\right)=x^2+1 et g\left(x\right)=-2x+7.
Pour tout réel x, on a :
f\circ g \left(x\right)=\left(-2x+7\right)^2+1=4x^2-28x+49+1=4x^2-28x+50
Limite d'une fonction composée
Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = \beta et \lim\limits_{x \to \beta } f\left(x\right) = \gamma, alors :
\lim\limits_{x \to \alpha } f\circ g\left(x\right) = \gamma
On sait que :
- \lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{1}{x} = \textcolor{Blue}{0}
- \lim\limits_{x \to \textcolor{Blue}{0}}\left( x - 5 \right)= -5
Donc, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty }\left( \dfrac{1}{x} - 5 \right)= -5
Soit une suite \left(u_{n}\right) telle que, pour tout entier naturel n, u_{n} = f\left(v_{n}\right) où \left( v_n \right) est une autre suite et f une fonction définie au moins sur l'ensemble des valeurs prises par la suite \left( v_n \right).
Si :
- La suite \left(v_{n}\right) est telle que \lim\limits_{n \to +\infty } v_{n} = \alpha
- La fonction f est telle que \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = \beta
Alors :
\lim\limits_{n \to +\infty } u_{n} = \beta
Soit la suite \left(v_n\right) définie pour tout entier naturel n non nul par v_n=\dfrac1n. Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2+1.
Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :
u_n=\dfrac{1}{n^2}+1=f\left(v_n\right)
On a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=0
- \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=1
Donc :
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=1
Limites et ordre
Le théorème d'encadrement
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L un réel.
Théorème d'encadrement
Soient f, g et h trois fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right) \leq h\left(x\right).
Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L et \lim\limits_{x \to \alpha } h\left(x\right) = L, alors :
\lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L
Considérons une fonction f définie sur \mathbb{R} telle que pour tout réel x non nul, -\dfrac1x \leq f\left(x\right)\leq \dfrac1x.
On a :
- \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac1x\right)=0
- \lim\limits_{x \to +\infty}\left(-\dfrac1x\right)=0
Donc d'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\to +\infty}f\left(x\right)=0
Le théorème de comparaison
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L un réel.
Théorème de comparaison
Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right).
Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L et \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L', alors L \leq L'.
Théorème de comparaison (2)
Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right) :
- Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = + \infty , alors \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = + \infty .
- Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = - \infty , alors \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = - \infty .
Considérons une fonction f telle que pour tout réel x, f\left(x\right)\geq 3x^2+6.
On a :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(3x^2+6\right)=+\infty
Donc par comparaison :
\lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty
Les asymptotes
Soit f une fonction, on désigne par C sa courbe représentative, et par a, b et c trois réels.
Les asymptotes horizontales
Asymptote horizontale en +\infty
La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C au voisinage de + \infty si et seulement si :
\lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = L
Asymptote horizontale en -\infty
La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C au voisinage de - \infty si et seulement si :
\lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = L
Une même droite peut être asymptote horizontale à C au voisinage de + \infty et au voisinage de - \infty .
Les asymptotes verticales
Asymptote verticale
La droite d'équation x = a est asymptote verticale à C si et seulement si :
\lim\limits_{x \to a^{-}} f\left(x\right) = \pm \infty
\text{ou}\lim\limits_{x \to a^{+}} f\left(x\right) = \pm \infty
