Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x+1}{1-x^4} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, \dfrac{2x+1}{1-x^4}=\dfrac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x^4\left(\dfrac{1}{x^4}-1\right)}=\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{x^3\left(\dfrac{1}{x^4}-1\right)}.
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to -\infty } x^3=-\infty .
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{1}{x^4}-1=-1.
Donc par produit \lim\limits_{x\to -\infty } x^3\left(\dfrac{1}{x^4}-1\right)=+\infty .
De plus \lim\limits_{x\to -\infty } 2+\dfrac{1}{x}=2.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{x^3\left(\dfrac{1}{x^4}-1\right)}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x+1}{1-x^4}=0.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2+x}{1-x} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, \dfrac{2x^2+x}{1-x}=\dfrac{x^2\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(\dfrac{1}{x}-1\right)}=\dfrac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}-1}.
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to +\infty } x=+\infty .
- \lim\limits_{x\to +\infty } 2+\dfrac{1}{x}=2.
Donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty .
De plus \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x}-1=-1.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}-1}=-\infty .
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2+x}{1-x}=-\infty .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{x^2+x+1}{-3x^2+4} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, \dfrac{x^2+x+1}{-3x^2+4}=\dfrac{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(-3+\dfrac{4}{x^2}\right)}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{-3+\dfrac{4}{x^2}}.
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to -\infty } 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=1.
- \lim\limits_{x\to -\infty } -3+\dfrac{4}{x^2}=-3.
Donc par quotient \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{-3+\dfrac{4}{x}}=-\dfrac{1}{3}.
On a ainsi \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{x^2+x+1}{-3x^2+4}=-\dfrac{1}{3}.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-x}{3x^3+2x} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, \dfrac{2x^2-x}{3x^3+2x}=\dfrac{x^2\left(2-\dfrac{1}{x}\right)}{x^3\left(3+\dfrac{2}{x^2}\right)}=\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{x\left(3+\dfrac{2}{x^2}\right)}.
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to +\infty } 3+\dfrac{2}{x^2}=3.
- \lim\limits_{x\to +\infty } x=+\infty .
Donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(3+\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty .
De plus \lim\limits_{x\to +\infty } 2-\dfrac{1}{x}=2.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{x\left(3+\dfrac{2}{x^2}\right)}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-x}{3x^3+2x}=0.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{3-8x}{3x^2+5} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, on a : \dfrac{3-8x}{3x^2+5}=\dfrac{x\left(\dfrac{3}{x}-8\right)}{x^2\left(3+\dfrac{5}{x^2}\right)}=\dfrac{\dfrac{3}{x}-8}{x\left(3+\dfrac{5}{x^2}\right)}.
On a donc :
- \lim\limits_{x\to +\infty } x=+\infty .
- \lim\limits_{x\to +\infty } 3+\dfrac{5}{x^2}=3.
Donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(3+\dfrac{5}{x^2}\right)=+\infty .
De plus \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{3}{x}-8=-8.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to+\infty }\dfrac{\dfrac{3}{x}-8}{x\left(3+\dfrac{5}{x^2}\right)}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{3-8x}{3x^2+5}=0.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{4x^3-1}{x^2+1} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, on a : \dfrac{4x^3-1}{x^2+1}=\dfrac{x^3\left(4-\dfrac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(4-\dfrac{1}{x^3}\right)}{1+\dfrac{1}{x^2}}.
On a donc :
- \lim\limits_{x\to -\infty } x=-\infty .
- \lim\limits_{x\to -\infty } 4-\dfrac{1}{x^3}=4.
Donc par produit \lim\limits_{x\to -\infty } x\left(4-\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty.
De plus \lim\limits_{x\to -\infty} 1+\dfrac{1}{x^2}=1.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x\left(4-\dfrac{1}{x^3}\right)}{1+\dfrac{1}{x^2}}=-\infty.
On a ainsi \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{4x^3-1}{x^2+1}=-\infty.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{5x^2+2x+7}{-x^3+5x+4} ?
Si l'on étudie cette limite directement, on constate qu'elle est du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré.
Pour tout nombre réel x non nul, on a : \dfrac{5x^2+2x+7}{-x^3+5x+4}=\dfrac{x^2\left(5+\dfrac{2}{x}+\dfrac{7}{x^2}\right)}{x^3\left(-1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)}=\dfrac{5+\dfrac{2}{x}+\dfrac{7}{x^2}}{x\left(-1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)}.
On a donc :
- \lim\limits_{x\to +\infty } x=+\infty .
- \lim\limits_{x\to +\infty } -1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}=-1.
Donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(-1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)=-\infty .
De plus \lim\limits_{x\to+\infty } 5+\dfrac{2}{x}+\dfrac{7}{x^2}=5.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to+\infty }\dfrac{5+\dfrac{2}{x}+\dfrac{7}{x^2}}{x\left(-1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{5x^2+2x+7}{-x^3+5x+4}=0.