Sommaire
1Déterminer la limite de la première fonction 2Effectuer le changement de variable 3Calculer la deuxième limite 4ConclureOn cherche parfois à déterminer la limite en a de la fonction h définie comme la composée de deux fonctions f et g (h=f\circ g), où a représente un réel, +\infty ou -\infty.
Déterminer la limite en +\infty de la fonction h définie par :
\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ h\left( x \right)=e^\dfrac1x
Déterminer la limite de la première fonction
On a h=f\circ g.
On détermine dans un premier temps la limite de g en a.
On sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac1x =0
Effectuer le changement de variable
On pose le changement de variable X=g\left(x\right) dans l'expression de la fonction h.
En posant le changement de variable X=\dfrac1x, on a :
e^{\frac{1}{x}}=e^X
Calculer la deuxième limite
On détermine la limite quand X tend vers b de la fonction f, où b est la limite de la fonction g lorsque x tend vers a.
De plus, on sait que :
\lim\limits_{X \to 0} e^X=1
Conclure
En notant l la limite trouvée précédemment, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to a} h\left(x\right)=\lim\limits_{x \to a}f\left(g\left(x\right)\right)=l
On a donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} e^{\frac1x}=1