Déterminer une limite en utilisant un théorème de comparaison Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}=-\dfrac{3}{2}

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}=+\infty

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}=0

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}=2

Pour tout nombre réel x, la fonction cosinus étant bornée, on a -1\leq\cos\left(x\right)\leq1.

Ainsi, on a 1\leq\cos\left(x\right)+2\leq3.

Donc en passant à l'inverse, \dfrac{1}{3}\leq\dfrac{1}{\cos\left(x\right)+2}\leq1.

Comme au voisinage de +\infty , 2x-3>0, on obtient finalement l'encadrement : \dfrac{2x-3}{3}\leq\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}\leq2x-3.

Or, \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{3}=+\infty .

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}=+\infty .

On a donc \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x-3}{\cos\left(x\right)+2}=+\infty .

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}=-\infty

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}=0

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}=2

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}=+\infty

Pour tout nombre réel x, la fonction cosinus étant bornée, on a -1\leq\cos\left(2x\right)\leq1.

Ainsi, on a -5\leq5\cos\left(2x\right)\leq5

Et donc en ajoutant 2x^2, 2x^2-5 \leq 2x^2+5\cos\left(2x\right) \leq 2x^2+5.

Comme au voisinage de -\infty , x+3<0, on a également \dfrac{1}{x+3}<0, et on obtient finalement l'encadrement :

\dfrac{2x^2+5}{x+3} \leq \dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3} \leq \dfrac{2x^2-5}{x+3}.

Or, \dfrac{2x^2-5}{x+3}=\dfrac{x^2\left(2-\dfrac{5}{x^2}\right)}{x\left(1+\dfrac{3}{x}\right)}=\dfrac{x\left(2-\dfrac{5}{x^2}\right)}{1+\dfrac{3}{x}}. Ainsi :

\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\dfrac{5}{x^2}=2 et \lim\limits_{x\to -\infty } x = -\infty . Donc par produit \lim\limits_{x\to -\infty } x\left(2-\dfrac{5}{x^2}\right) = -\infty .
De plus \lim\limits_{x\to -\infty } 1+\dfrac{3}{x}=1.

Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{x\left(2-\dfrac{5}{x^2}\right)}{1+\dfrac{3}{x}}=-\infty .

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}=-\infty .

On a donc \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^2+5\cos\left(2x\right)}{x+3}=-\infty .

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1}

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1}=\dfrac{1}{2}

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1}=0

\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1} \text{ n'a pas de limite en }+\infty

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1}=1

Pour tout nombre réel x, la fonction cosinus étant bornée, on a -1\leq\cos\left(x\right)\leq1. Ainsi, on a 0\leq|\cos\left(x\right)|\leq1.

Sur \mathbb{R}, x^2+1>0, on a également \dfrac{1}{x^2+1}>0, et on obtient finalement l'encadrement : 0 \leq \dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1} \leq \dfrac{1}{x^2+1}.

Or, \lim\limits_{x\to +\infty } x^2+1=+\infty donc en passant à l'inverse, \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x^2+1}=0.

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1}=0.

On a donc \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{|\cos\left(x\right)|}{x^2+1}=0.

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}

\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}=-\infty

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}=+\infty

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}=2

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}=0

Pour tout nombre réel x, la fonction sinus étant bornée, on a -1\leq\sin\left(5x\right)\leq1.

Ainsi, on a 0\leq|\sin\left(5x\right)|\leq1.

En multipliant par -3, on obtient l'encadrement -3 \leq -3|\sin\left(5x\right)| \leq 0.

En ajoutant 2x^3 à chaque membre, on obtient 2x^3-3 \leq 2x^3-3|\sin\left(5x\right)| \leq 2x^3.

Au voisinage de -\infty , x^2-4>0, on a donc également \dfrac{1}{x^2-4}>0, et on obtient finalement l'encadrement : \dfrac{2x^3-3}{x^2-4} \leq \dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4} \leq \dfrac{2x^3}{x^2-4}.

Or, \dfrac{2x^3}{x^2-4}=\dfrac{2x^3}{x^2\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)}=\dfrac{2x^3}{1-\dfrac{4}{x^2}}. Ainsi :

\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^3=-\infty
De plus \lim\limits_{x\to -\infty } 1-\dfrac{4}{x^2}=1.

Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{2x^3}{1-\dfrac{4}{x^2}}=-\infty .

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}=-\infty .

On a donc \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x^3-3|\sin\left(5x\right)|}{x^2-4}=-\infty .

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}

\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}=1

\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}=0

\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}=+\infty

\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}=2

Pour tout nombre réel x, la fonction cosinus étant bornée, on a -1\leq\cos\left(x\right)\leq1.

Ainsi, on a -1\leq-\cos\left(x\right)\leq1.

En ajoutant 2x^2 à chaque membre, on obtient 2x^2-1 \leq 2x^2-\cos\left(x\right) \leq 2x^2+1.

Au voisinage de +\infty , x+1>0, on a donc également \dfrac{1}{x+1}>0, et on obtient finalement l'encadrement : \dfrac{2x^2-1}{x+1} \leq \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1} \leq \dfrac{2x^2+1}{x+1}.

Or, \dfrac{2x^2-1}{x+1}=\dfrac{x^2\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{x\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)}{1+\dfrac{1}{x}}. Ainsi :

\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\dfrac{1}{x^2}=2 et \lim\limits_{x\to +\infty } x=+\infty , donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)=+\infty .
De plus \lim\limits_{x\to +\infty } 1+\dfrac{1}{x}=1.

Donc par quotient \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{x\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)}{1+\dfrac{1}{x}}=+\infty .

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}=+\infty .

On a donc \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x^2-\cos\left(x\right)}{x+1}=+\infty .

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8}

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8}=-\dfrac{7}{3}

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8}=-\infty

Il n'y a pas de limite.

\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8}=+\infty

Pour tout nombre réel x, la fonction sinus étant bornée, on a -1\leq\sin\left(2x\right)\leq1.

Ainsi, on a -3\leq3\sin\left(2x\right)\leq3.

En ajoutant -8 à chaque membre, on obtient -11 \leq 3\sin\left(2x\right)-8 \leq -5.

En passant à l'inverse, on obtient -\dfrac{1}{5} \leq \dfrac{1}{3\sin\left(2x\right)-8} \leq -\dfrac{1}{11}.

Au voisinage de +\infty , 5-7x<0, et on obtient finalement l'encadrement :

-\dfrac{5-7x}{5} \geq \dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8} \geq -\dfrac{5-7x}{11}, soit \dfrac{7x-5}{5} \geq \dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8} \geq \dfrac{7x-5}{11}.

Or \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{7x-5}{11}=+\infty .

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8}=+\infty .

On a donc \lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{5-7x}{3\sin\left(2x\right)-8}=+\infty .

Quelle est la valeur de la limite suivante ?

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}=0

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}=-\infty

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}=+\infty

\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}=-2

Pour tout nombre réel x, la fonction cosinus étant bornée, on a -1\leq\cos\left(x\right)\leq1.

Ainsi, on a -1\leq-\cos\left(x\right)\leq1.

En rajoutant 2 à chaque membre, on obtient 1 \leq 2-\cos\left(x\right) \leq 3.

En élevant au carré chaque membre, on garde le sens car tous les nombres sont positifs, et ainsi on obtient 1 \leq \left(2-\cos\left(x\right)\right)^2 \leq 9.

En passant à l'inverse, on obtient \dfrac{1}{9} \leq \dfrac{1}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2} \leq 1.

Au voisinage de -\infty , 1-2x>0, et on obtient finalement l'encadrement :

\dfrac{1-2x}{9} \leq \dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2} \leq 1-2x.

Or \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{9}=+\infty .

Donc par comparaison, on obtient \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}=+\infty .

On a donc \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-2x}{\left(2-\cos\left(x\right)\right)^2}=+\infty .