Démontrer qu'une courbe admet une asymptote verticale Exercice

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{3\} par f\left(x\right)=\dfrac{2x+4}{3-x}.

Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?

On a \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=+\infty et \lim\limits_{x\to 3^{+}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=-\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=3.

On a \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to 3^{+}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=+\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=3.

3 est une valeur interdite, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=3.

3 est une valeur interdite et \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=\lim\limits_{x\to 3^{+}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right), donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=3.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-5\} par f\left(x\right)=\dfrac{3-4x}{5+x}.

Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?

On a \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{-}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{+}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=+\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-5.

On a \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{-}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=+\infty et \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{+}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=-\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-5.

On a \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{-}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=0 et \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{+}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=0, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-5.

On a \lim\limits_{x\to0^{-}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=-5 et \lim\limits_{x\to 0^{+}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=-5, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-5.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-1\} par f\left(x\right)=1+x-\dfrac{2}{1+x}.

Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?

On a \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}}\left( -\dfrac{2}{1+x}\right)=+\infty et \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{+}} \left(-\dfrac{2}{1+x}\right)=-\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-1.

On a \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}}\left( -\dfrac{2}{1+x}\right)=0 et \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{+}} \left(-\dfrac{2}{1+x}\right)=0, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=0.

On a \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}}\left( -\dfrac{2}{1+x}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{+}} \left(-\dfrac{2}{1+x}\right)=+\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-1.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-2;2\} par f\left(x\right)=\dfrac{3}{x^2-4}.

\mathcal{C}_f admet-elle des asymptotes verticales ?

La courbe \mathcal{C}_f admet comme asymptotes verticales les droites d'équation x=-2 et x=2.

La courbe \mathcal{C}_f admet comme asymptotes verticales les droites d'équation x=3 et x=2.

La courbe \mathcal{C}_f admet comme unique asymptote verticale la droite d'équation x=2.

La courbe \mathcal{C}_f n'admet pas d'asymptote verticale.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-1;2\} par f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{x^2-x-2}.

\mathcal{C}_f admet-elle des asymptotes verticales ?

La courbe \mathcal{C}_f admet comme asymptotes verticales les droites d'équation x=-1 et x=2.

La courbe \mathcal{C}_f admet comme unique asymptote verticale la droite d'équation x=-1.

La courbe \mathcal{C}_f admet comme unique asymptote verticale la droite d'équation x=-2.

La courbe \mathcal{C}_f admet comme unique asymptote verticale la droite d'équation x=\dfrac32.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac75\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-4}{5x+7}.

Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?

On a \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{-}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=+\infty et \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{+}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\dfrac75.

On a \lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\dfrac75 et \lim\limits_{x\to +\infty} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\dfrac75, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\dfrac75.

On a \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{-}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{+}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=+\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\dfrac75.

On a \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{-}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{+}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\dfrac75.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{3}\} par f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}.

Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?

On a \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{-}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{+}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=+\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\sqrt{3}.

On a \lim\limits_{x\to -\infty}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\sqrt3 et \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\sqrt3, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\sqrt{3}.

On a \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{-}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\sqrt3 et \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{+}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\sqrt3, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\sqrt{3}.

On a \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{-}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{+}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\infty, donc \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\sqrt{3}.