Etablir la loi d'une variable aléatoire discrète quelconque Exercice

On peut récapituler les différentes issues possibles de l'expérience dans un tableau à double entrée, donnant dans chaque cellule la somme des numéros obtenus.

Dé 1 / Dé 2	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Ainsi, les valeurs possibles de X sont :

X\left(\Omega\right)=\left\{ 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 \right\}

Il y a 36 issues possibles au total. Comme nous sommes dans une situation d'équiprobabilité, on obtient la loi de probabilité de X :

x_i	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p\left(X=x_i\right)	\dfrac{1}{36}	\dfrac{2}{36}	\dfrac{3}{36}	\dfrac{4}{36}	\dfrac{5}{36}	\dfrac{6}{36}	\dfrac{5}{36}	\dfrac{4}{36}	\dfrac{3}{36}	\dfrac{2}{36}	\dfrac{1}{36}

L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :

E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)

Ici, on a donc (en laissant les fractions sur le même dénominateur pour simplifier le calcul) :

E\left(X\right)=2\times\dfrac{1}{36}+3\times\dfrac{2}{36}+4\times\dfrac{3}{36}+5\times\dfrac{4}{36}+6\times\dfrac{5}{36}+7\times\dfrac{6}{36}+8\times\dfrac{5}{36}+9\times\dfrac{4}{36}+10\times\dfrac{3}{36}+11\times\dfrac{2}{36}+12\times\dfrac{1}{36}

E\left(X\right)=\dfrac{2}{36}+\dfrac{6}{36}+\dfrac{12}{36}+\dfrac{20}{36}+\dfrac{30}{36}+\dfrac{42}{36}+\dfrac{40}{36}+\dfrac{36}{36}+\dfrac{30}{36}+\dfrac{22}{36}+\dfrac{12}{36}

E\left(X\right)=\dfrac{252}{36}=7