Etablir la loi d'une variable aléatoire discrète quelconque Exercice

On peut soit ne tirer aucune boule blanche au cours des 2 tirages, soit tirer 2 fois une boule blanche, soit ne tirer qu'une seule fois une boule blanche (au 1er ou au 2e tirage).

X peut donc prendre les valeurs :

X\left(\Omega\right)= [\![ 0; 2]\!]

Pour avoir X = 0 : il faut tirer 2 boules noires. La probabilité de tirer une boule noire est de \dfrac{1}{3}, car il n'y a qu'une seule boule noire parmi les 3 boules de l'urne. Par ailleurs les tirages étant indépendants, on trouve que la probabilité de tirer 2 boules noires est:

\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}

Donc : P\left(X= 0\right) = \dfrac{1}{9}

La probabilité de tirer une boule blanche à un tirage est : \dfrac{2}{3}, car il y a 2 boules blanches parmi les 3 boules de l'urne. Et les tirages étant indépendants, on trouve facilement la probabilité de tirer 2 boules blanches :

P\left(X= 2\right) = \dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}

Par ailleurs, si on veut tirer 1 seule boule blanche on suit le schéma suivant : soit on tire 1 boule blanche puis une boule noire, soit on tire une boule noire puis une boule blanche. Chacune de ces 2 possibilités a une probabilité valant : \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}

Donc :

P\left(X= 1\right) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9}

On vérifie bien que : P\left(X= 1\right) + P\left(X= 2\right) + P\left(X=0\right) = 1

L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :

E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)

E\left(X\right)= 0\times\dfrac{1}{9} + 1\times \dfrac{4}{9} + 2\times \dfrac{4}{9}

E\left(X\right)= \dfrac{4}{9} + \dfrac{8}{9} =\dfrac{12}{9}= \dfrac{4}{3}