On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p\left(F\right) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements.
Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.
On note :
- A : "Le composé est de type A."
- B : "Le composé est de type B."
- D : "Le composé est défectueux."
Calculer p\left(D\right).
Dresser un arbre de probabilités
On dresse un arbre de probabilités correspondant à la situation. Ici, pour déterminer p\left(F\right) ou p\left(\overline{F}\right), il est nécessaire d'utiliser la formule des probabilités totales car la réalisation de F (ou de \overline{F} ) dépend de la réalisation de A, B ou C.
L'énoncé donne les probabilités suivantes :
- p\left(A\right)=0{,}8
- p\left(B\right)=0{,}2
- p_{A}\left(D\right)=0{,}01
- p_{B}\left(D\right)=0{,}05
On obtient donc l'arbre de probabilités suivant :
Déterminer une partition de l'univers
Les événements des branches issues de l'origine de l'arbre forment une partition de l'univers.
A et B forment ici une partition de l'univers.
Énoncer et développer la formule
On applique la formule des probabilités totales avec la partition de l'univers déterminée à l'étape précédente :
p\left(F\right)=p\left(F\cap A\right)+p\left(F\cap B\right)+p\left(F\cap C\right)
On applique ensuite la formule des probabilités conditionnelles :
p\left(F\right)=p_{A}\left(F\right)\times p\left(A\right)+p_{B}\left(F\right)\times p\left(B\right)+p_{C}\left(F\right)\times p\left(C\right)
D'après la formule des probabilités totales, on a donc :
p\left(D\right)=p\left(D\cap A\right)+p\left(D\cap B\right)
Soit, d'après la formule des probabilités conditionnelles :
p\left(D\right)=p_{A}\left(D\right)\times p\left(A\right)+p_{B}\left(D\right)\times p\left(B\right)
Rappeler les probabilités connues
On rappelle la valeur des probabilités impliquées dans la formule déterminée à l'étape précédente. Ces probabilités sont données par l'énoncé ou lisibles sur l'arbre de probabilités.
Or, on sait que :
- p\left(A\right)=0{,}8
- p\left(B\right)=0{,}2
- p_{A}\left(D\right)=0{,}01
- p_{B}\left(D\right)=0{,}05
Effectuer le calcul
On remplace les probabilités par leurs valeurs dans la formule et on effectue le calcul.
Finalement :
p\left(D\right)=0{,}01\times0{,}8+0{,}05\times0{,}2
p\left(D\right)=0{,}008+0{,}01=0{,}018