Le produit scalaire Formulaire

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls.
On appelle produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, le réel :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)

Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} est égal à :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)

ou :

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan, on a :

MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}

Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :

• a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

• b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}

• c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}